※ 引述《daniel2071 (蹲在地板畫圈圈)》之銘言： : 我去研究所面試被問到 : 對方是企管系教授 : 而小弟我是私立大學數學系 : 中間他只問了這題~你認為你數學的專長可以對於你來企管系有什麼幫助... : 想當然我就說了制式化的答案 : 而他也繼續問~那你認為你本身的邏輯推理能力為什麼比我們本系的學生好 : 而我只好說~這問題不是絕對 我只能說普遍 至少原本您貴系的學生高中時 : 是社會組數理能力或多或少會低於理工的 : 然後他就說~舉例 : 我就說~統計線代拓普我們比較懂一點點 : 機車的來了 : 他說~不懂啥是拓普 叫我解釋給他聽 : 其實我也不是很瞭 （假如末學是您） 大家知道，Nash 均衡是 game thoery 最重要的概念， 而 Nash Theorem 則論定，每個有限 game 都至少存在一個 Nash 平衡。 這是 game theory 裡的基石。 （企管系教授應該要懂一點經濟的東西吧） Nash 證明他定理的工具，就是拓樸學裡面的不動點定理。 （趁著這鼓氣勢，說明 Nash Theorem 的內涵，並且強調證明不會很難） （其實末學根本不會證） 其實 Debreu-Eilenberg-Rader Theorem 也是用到不動點定理， 還有 Sard Theorem，都有很重要的經濟意義在裡頭。 （搞笑完畢） : 但我只好說~這是有關於空間幾何的概念 一時之間很難解釋很抽象>"< : 我看我是不會上了 T_T : 現在想請教各位大大 : 拓普的定義到底是什麼阿 : 心靈受創的小魚 如果要一般的說帖，[email protected] 闡述的很清楚。 發信人: [email protected] (幾何三賤客<C>), 看板: Math 標 題: 關於拓樸.....(板主請考慮加以標記.) 發信站: 醉月風情 BBS (Thu Oct 26 14:29:15 2000) 轉信站: kulu!netnews.ee.nctu!ctu-peer!ctu-gate!news.nctu!news.ntu!ntumathbbs 之前寫過的,不過被當舊信砍了! 一般來說,如果你聽說某人在研究拓樸,那他指的絕不是點 集拓樸,而是像代數拓樸,微分拓樸,或是同倫論 (homotopy)之 類的東西;正如 Apostol 提到的一樣, 點集拓樸現在多半是作 為分析學或是其他數學分支的基礎出現,雖說名為拓樸,但將之 視為分析的一部分絕不為過. 至於"真正的"拓樸,似乎都和代數拓樸脫不了干係(當然不 全相干),自從上個世紀拓樸學的祖師爺 Poincare 開始了拓樸 學的組合方法以來,拓樸學在許多方向都大有進展. Poincare 可說是開始了同調論 (homology)的研究,簡單說就是利用三角 剖分的辦法討論同調群,就是現在說的 simplicial homology; 利用這種把幾何問題代數化的手法數學家們解決了許多問題. 後來的(代數)拓樸雖有許多不同的研究方向, 但與同調群 的計算都脫不了關係;許多"不同的"同調理論陸續被研究著,像 是 Cech homology, singular homology等等;而代數拓樸中著 名的 Eilenberg - Steenrod 定理告訴我們這些看似不同的同 調理論本質上其實是一樣的,只是表現的方式不同罷了,在不同 的地方選擇方便的同調論即可! 而與同調論息息相關的便是上同調論(cohomology); 所謂 上同調就是同調的"對偶"(就像線性空間的對偶空間那樣...), 說成對偶也許會令你感到無聊, 因為好像只是把從前同調論的 東西換個寫法罷了;事實不然,正如前面提到"不同的"同調論一 樣,上同調論也有許多不同的表達方式,其中最有意思的一種便 是 de Rham 上同調論, 這套上同調論是以微分式來表達的(想 想 Stokes定理的樣子),主要當然是用在光滑流形上;利用微分 式的好處是可以用 wedge product賦予上同調群一個自然的環 的結構;此外微分幾何的方法也常常派得上用場! 代數拓樸的另一個重要的方向是同倫論的研究; 一般如果 說某人專門研究拓樸,大概就是說他在研究同倫論;同倫與同調 的差別在於後者易算但缺乏幾何直觀,而前者則反之;早先這方 面的重大成就來自於 H.Hopf,此外還有 J.H.C.Whitehead, 他 就是引進 CW-complex 的人. 隨著光滑流形的研究, 數學家開始利用微積分的辦法研究 拓樸,漸漸形成所謂的微分拓樸.Smale, Thom, Milnor 等人都 做過不少精采而深入的研究; Smale的工作是廣義 Poincare猜 想的研究,利用他的辦法證明了五維以上猜想都是正確的;Thom 的研究則是關於 cobordism; J.Milnor 的工作更是不計其數, 像是七維球面上的微分結構分類就是大家耳熟能詳的; 此外還 有像是 Freedman 證明了四維的 Poincare 猜想,Donaldson關 於楊 - Mills理論的相關研究等等. 近來的重點是在於低維拓 樸的探討及一直以來都有人做的"結"論! 有許多微分拓樸上的經典理論無法在這裡提及, 僅舉一個 最重要且優美的例子介紹,那就是 Morse 理論, 這是由偉大數 學家 M.Morse 所創的一套理論,主要的想法是利用光滑函數的 二次部分來看奇異點附近的狀況(之前我曾介紹過的 Morse 引 理),可以證明每個光滑流形的同倫形都是個 CW-complex(維度 不大於流形維度);之後利用類似的辦法研究流形的迴路空間, 進而得出流形的性質;將這套辦法應用在 Lie groups上可以得 出著名得 Bott periodicity,這是 K-theory 的基本定理. 關 於這方面有一本精采無比且深入淺出的參考書(應該說是課本) Morse Theory, J.Milnor. 由於篇幅有限,又不能扯太多微分幾何和分析的東西,只能 做這樣淺略的介紹,也沒能提到晚近的許多發展,請大家見諒! 拓樸學真的很有趣滴 :pp --

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