※ 引述《daniel2071 (蹲在地板画圈圈)》之铭言： : 我去研究所面试被问到 : 对方是企管系教授 : 而小弟我是私立大学数学系 : 中间他只问了这题~你认为你数学的专长可以对於你来企管系有什麽帮助... : 想当然我就说了制式化的答案 : 而他也继续问~那你认为你本身的逻辑推理能力为什麽比我们本系的学生好 : 而我只好说~这问题不是绝对 我只能说普遍 至少原本您贵系的学生高中时 : 是社会组数理能力或多或少会低於理工的 : 然後他就说~举例 : 我就说~统计线代拓普我们比较懂一点点 : 机车的来了 : 他说~不懂啥是拓普 叫我解释给他听 : 其实我也不是很了 （假如末学是您） 大家知道，Nash 均衡是 game thoery 最重要的概念， 而 Nash Theorem 则论定，每个有限 game 都至少存在一个 Nash 平衡。 这是 game theory 里的基石。 （企管系教授应该要懂一点经济的东西吧） Nash 证明他定理的工具，就是拓朴学里面的不动点定理。 （趁着这鼓气势，说明 Nash Theorem 的内涵，并且强调证明不会很难） （其实末学根本不会证） 其实 Debreu-Eilenberg-Rader Theorem 也是用到不动点定理， 还有 Sard Theorem，都有很重要的经济意义在里头。 （搞笑完毕） : 但我只好说~这是有关於空间几何的概念 一时之间很难解释很抽象>"< : 我看我是不会上了 T_T : 现在想请教各位大大 : 拓普的定义到底是什麽阿 : 心灵受创的小鱼 如果要一般的说帖，[email protected] 阐述的很清楚。 发信人: [email protected] (几何三贱客<C>), 看板: Math 标 题: 关於拓朴.....(板主请考虑加以标记.) 发信站: 醉月风情 BBS (Thu Oct 26 14:29:15 2000) 转信站: kulu!netnews.ee.nctu!ctu-peer!ctu-gate!news.nctu!news.ntu!ntumathbbs 之前写过的,不过被当旧信砍了! 一般来说,如果你听说某人在研究拓朴,那他指的绝不是点 集拓朴,而是像代数拓朴,微分拓朴,或是同伦论 (homotopy)之 类的东西;正如 Apostol 提到的一样, 点集拓朴现在多半是作 为分析学或是其他数学分支的基础出现,虽说名为拓朴,但将之 视为分析的一部分绝不为过. 至於"真正的"拓朴,似乎都和代数拓朴脱不了干系(当然不 全相干),自从上个世纪拓朴学的祖师爷 Poincare 开始了拓朴 学的组合方法以来,拓朴学在许多方向都大有进展. Poincare 可说是开始了同调论 (homology)的研究,简单说就是利用三角 剖分的办法讨论同调群,就是现在说的 simplicial homology; 利用这种把几何问题代数化的手法数学家们解决了许多问题. 後来的(代数)拓朴虽有许多不同的研究方向, 但与同调群 的计算都脱不了关系;许多"不同的"同调理论陆续被研究着,像 是 Cech homology, singular homology等等;而代数拓朴中着 名的 Eilenberg - Steenrod 定理告诉我们这些看似不同的同 调理论本质上其实是一样的,只是表现的方式不同罢了,在不同 的地方选择方便的同调论即可! 而与同调论息息相关的便是上同调论(cohomology); 所谓 上同调就是同调的"对偶"(就像线性空间的对偶空间那样...), 说成对偶也许会令你感到无聊, 因为好像只是把从前同调论的 东西换个写法罢了;事实不然,正如前面提到"不同的"同调论一 样,上同调论也有许多不同的表达方式,其中最有意思的一种便 是 de Rham 上同调论, 这套上同调论是以微分式来表达的(想 想 Stokes定理的样子),主要当然是用在光滑流形上;利用微分 式的好处是可以用 wedge product赋予上同调群一个自然的环 的结构;此外微分几何的方法也常常派得上用场! 代数拓朴的另一个重要的方向是同伦论的研究; 一般如果 说某人专门研究拓朴,大概就是说他在研究同伦论;同伦与同调 的差别在於後者易算但缺乏几何直观,而前者则反之;早先这方 面的重大成就来自於 H.Hopf,此外还有 J.H.C.Whitehead, 他 就是引进 CW-complex 的人. 随着光滑流形的研究, 数学家开始利用微积分的办法研究 拓朴,渐渐形成所谓的微分拓朴.Smale, Thom, Milnor 等人都 做过不少精采而深入的研究; Smale的工作是广义 Poincare猜 想的研究,利用他的办法证明了五维以上猜想都是正确的;Thom 的研究则是关於 cobordism; J.Milnor 的工作更是不计其数, 像是七维球面上的微分结构分类就是大家耳熟能详的; 此外还 有像是 Freedman 证明了四维的 Poincare 猜想,Donaldson关 於杨 - Mills理论的相关研究等等. 近来的重点是在於低维拓 朴的探讨及一直以来都有人做的"结"论! 有许多微分拓朴上的经典理论无法在这里提及, 仅举一个 最重要且优美的例子介绍,那就是 Morse 理论, 这是由伟大数 学家 M.Morse 所创的一套理论,主要的想法是利用光滑函数的 二次部分来看奇异点附近的状况(之前我曾介绍过的 Morse 引 理),可以证明每个光滑流形的同伦形都是个 CW-complex(维度 不大於流形维度);之後利用类似的办法研究流形的回路空间, 进而得出流形的性质;将这套办法应用在 Lie groups上可以得 出着名得 Bott periodicity,这是 K-theory 的基本定理. 关 於这方面有一本精采无比且深入浅出的参考书(应该说是课本) Morse Theory, J.Milnor. 由於篇幅有限,又不能扯太多微分几何和分析的东西,只能 做这样浅略的介绍,也没能提到晚近的许多发展,请大家见谅! 拓朴学真的很有趣滴 :pp --

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