※ 引述《Gerioty (.......................)》之銘言： : ∞ Cosx : ∫ -------dx : 0 1+x^2 很久以前學過 , 我試看看。 e^iz [解] 考慮積分I = ∫ ------------ dz , 積分路徑 c表一個以原點為圓心, c 1 + z^2 半徑為R的上半圓contour(圍線)。 奇異點(pole的位置)在 1 + z^2 = 0 => z = i , -i 因為是考慮上半圓區域, 故 pole的位置只有 z = i 且為一階奇點。 由留數定理知 : I = 2πi Resf(z) 其中 e^iz f(z) = ------------ 1 + z^2 e^(-1) Resf(z) = lim ( z-i )f(z) = ------ => I = πe^(-1) z -> i 2i 接下來，真正去計算線積分I之值。 I = ∫ f(z) dz , c(R) = 上半圓圍線(逆時針方向,不包含直徑) c=c(R) + c(x) c(x) = 上半圓的直徑路線( 由左x=-R 到右 x=+R ) e^iz (a). I(R) = ∫ --------- dz , 可設 z = R e^iθ c(R) 1 + z^2 => dz = iRe^iθdθ π e^(iRcosθ- Rsinθ) = ∫ --------------------- iRe^iθdθ 0 1 + R^2 e^2iθ π e^(iRcosθ- Rsinθ) |I(R)|=< ∫| ----------------------- iRe^iθ|dθ 0 1 + R^2 e^2iθ π e^(-Rsinθ) =< ∫ |---------------| R dθ 0 R^2 e^2iθ π e^(-Rsinθ) π/2 e^(-Rsinθ) = ∫ ------------- dθ = 2 ∫ ---------- dθ 0 R 0 R 因為 θ在 [ 0,π/2 ]區間時 , sinθ >= (2/π)θ π/2 e^(-2R/π)θ |I(R)| =< 2 ∫ --------------- dθ 0 R R -> ∞ = (π/R^2) [ 1 - e^(-R) ] --------> 0 => I(R) -> 0 R e^ix R cosx + isinx (b). I(x) = ∫ ---------- dx = ∫ -------------- dx -R 1 + x^2 -R 1 + x^2 R cosx = ∫ ---------- dx ( 因為 sinx 為奇函, 積分為 0 )밬 -R 1 + x^2 當 R -> ∞ 時 , ∞ cosx ∞ cosx I(x) = ∫ ---------- dx = 2 ∫ -------- dx밬 -∞ 1 + x^2 0 1 + x^2 由以上總結： I = I(R) + I(x) ∞ cosx => πe^(-1) = 0 + 2 ∫ -------- dx 0 1 + x^2 ∞ cosx π => ∫ -------- dx = ---e^(-1) Q.E.D 0 1 + x^2 2 --

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