※ 引述《Gerioty (.......................)》之铭言： : ∞ Cosx : ∫ -------dx : 0 1+x^2 很久以前学过 , 我试看看。 e^iz [解] 考虑积分I = ∫ ------------ dz , 积分路径 c表一个以原点为圆心, c 1 + z^2 半径为R的上半圆contour(围线)。 奇异点(pole的位置)在 1 + z^2 = 0 => z = i , -i 因为是考虑上半圆区域, 故 pole的位置只有 z = i 且为一阶奇点。 由留数定理知 : I = 2πi Resf(z) 其中 e^iz f(z) = ------------ 1 + z^2 e^(-1) Resf(z) = lim ( z-i )f(z) = ------ => I = πe^(-1) z -> i 2i 接下来，真正去计算线积分I之值。 I = ∫ f(z) dz , c(R) = 上半圆围线(逆时针方向,不包含直径) c=c(R) + c(x) c(x) = 上半圆的直径路线( 由左x=-R 到右 x=+R ) e^iz (a). I(R) = ∫ --------- dz , 可设 z = R e^iθ c(R) 1 + z^2 => dz = iRe^iθdθ π e^(iRcosθ- Rsinθ) = ∫ --------------------- iRe^iθdθ 0 1 + R^2 e^2iθ π e^(iRcosθ- Rsinθ) |I(R)|=< ∫| ----------------------- iRe^iθ|dθ 0 1 + R^2 e^2iθ π e^(-Rsinθ) =< ∫ |---------------| R dθ 0 R^2 e^2iθ π e^(-Rsinθ) π/2 e^(-Rsinθ) = ∫ ------------- dθ = 2 ∫ ---------- dθ 0 R 0 R 因为 θ在 [ 0,π/2 ]区间时 , sinθ >= (2/π)θ π/2 e^(-2R/π)θ |I(R)| =< 2 ∫ --------------- dθ 0 R R -> ∞ = (π/R^2) [ 1 - e^(-R) ] --------> 0 => I(R) -> 0 R e^ix R cosx + isinx (b). I(x) = ∫ ---------- dx = ∫ -------------- dx -R 1 + x^2 -R 1 + x^2 R cosx = ∫ ---------- dx ( 因为 sinx 为奇函, 积分为 0 )밬 -R 1 + x^2 当 R -> ∞ 时 , ∞ cosx ∞ cosx I(x) = ∫ ---------- dx = 2 ∫ -------- dx밬 -∞ 1 + x^2 0 1 + x^2 由以上总结： I = I(R) + I(x) ∞ cosx => πe^(-1) = 0 + 2 ∫ -------- dx 0 1 + x^2 ∞ cosx π => ∫ -------- dx = ---e^(-1) Q.E.D 0 1 + x^2 2 --

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