※ 引述《WMX (在家當米蟲)》之銘言： : 1. : An=(-1)^n : {-1,1,-1,1,-1,1,-1,1....} : 試證：以上數列不收斂。 這邊把 數列極限的定義 寫在下面: (底下指的數列都是指無窮數列). 對於任意的實數 ε > 0, 如果有一個自然數 N, N 可能是 ε 的函數, P → 讓所有的 n ≧(或 >) N, 都能滿足 | a_n - A | < ε, Q → 我們就說 {a_n} 有極限 A (或者說 {a_n} 收斂到 A). 簡記成 lim a_n = A 或 a_n -> A as n -> +oo. n->+oo 這邊要注意的是: 定義是一個充要條件. 即 P <=> Q. 如果說沒有一個實數 A 滿足上面的定義, 我們就說 {a_n} 沒有極限 (或說發散). 有時候我們需要說明: {a_n} 沒有收斂到 0 (為了簡化討論, 所以讓 A = 0), 為了正確得到 P 的正確逆命題, 我們可以用底下的步驟慢慢表達: (1) 存在一個 ε_0 > 0, 使得具有 P 中的自然數 N 找不到. (2) 存在一個 ε_0 > 0, 使得對任意的 N, 不能夠對所有的 n, 當 n > N 時, 能夠滿足 | a_n | < ε_0. (3) 存在一個 ε_0 > 0, 使得對任意的 N, 有 n' > N, 使得 | a_n' | ≧ ε_0. 這個才是正確的逆命題. 底下是 (3) 的等價敘述 (請自己去證明吧): (3)' 存在一個 ε_0 > 0 及一個自然數子數列 {n_k}, n_k 遞增到 +oo, 使得 | a_n_k | ≧ ε_0. ----------------------------------------------------------------------------- 看完上面的東西，對我底下的做法，沒有理由說不懂吧 /_\ 假設 {a_n} -> A. 現在我們分兩種情況。（上面你有點寫錯，a_n 第一項是 -1) (Case-1): A = 1. 我們在上面的說明 (3)' 中取 ε_0 = 1 > 0, n_k = 2k-1, 也就是取 奇數項。那麼對任意的 N, 有 n_k > N, 使得 | a_n_k-1 | = |-1-1| = 2 ≧ 1 = ε_0. (Case-2) A≠1. 我們在上面的說明 (3)' 中取 ε_0 = |A-1|/2 > 0, n_k = 2k, 也就是取 偶數項。那麼對任意的 N, 有 n_k > N, 使得 | a_n_k-A | = |1-A| > 1/2|1-A| = ε_0. 所以 {a_n} 不收斂 :pp ----------------------------------------------------------------------------- 或者用底下的 Theorem: (Thm): 數列有極限 A <=> 任一子數列也有極限 A 證明: (必要性) 對於任意的實數 ε > 0, 如果有一個自然數 N, N 可能是 ε 的函數, 讓所有的 n > N, 都能滿足 | a_n - A | < ε. 對任意的 {a_n_k}, 當 n_k > N 時, 由上式我們有 | a_n_k - A | < ε. 證完! (充分性) 用反證法. 若 {a_n} 不以 A 為極限值, 則存在一個 ε_0 > 0 及一個自然數子數列 {n_k}, n_k 遞增到 +oo, 使得 | a_n_k | ≧ ε_0. 矛盾! 我們發現 {1,1,...} -> 1 和 {-1,-1,...} -> -1 都是 {a_n} 的子數列, 但 1≠-1, 所以 {a_n} 不收斂. : 　 : 2. : If lim An & lim Bn exist ,then : lim(AnBn) = (lim An)(lim Bn) : n->∞ n->∞ n->∞ : 試證之。 : 謝謝各位大大～ 免費贈送其他三個的證明 :pp ----------------------------------------------------------------------------- (極限運算): 如果數列 {a_n} 收斂到 A, 數列 {b_n} 收斂到 B. (A, B 為實數), 則我們有: lim (a_n + b_n) = A + B. n->oo lim (a_n - b_n) = A - B. n->oo lim (a_n * b_n) = A * B. n->oo lim (a_n / b_n) = A / B, 這邊假設 B ≠ 0. n->oo 證明: (先證 lim (a_n + b_n) = A + B) 對任意的 ε/2 > 0, 存在自然數 N_1, 使得對所有的 n > N_1, 都有 | a_n-A | < ε/2 對任意的 ε/2 > 0, 存在自然數 N_2, 使得對所有的 n > N_2, 都有 | b_n-B | < ε/2 如果我們取 N = max{N_1,N_2}, 則顯然有 ε > 0, 存在自然數 N, 使得對每個 n > N, 都有 | a_n - A | < ε, | b_n - B | < ε. 因此 | (a_n+b_n) - (A+B) | = | (a_n-A) + (b_n-B) | ≦ | a_n-A | + | b_n-B | < ε/2 + ε/2 = ε. lim (a_n - b_n) = A - B 證明類似, 請自己練習吧. n->oo (接著證明 lim (a_n * b_n) = A * B) 對任意的 √ε > 0, 存在自然數 N_1, 使得對所有的 n > N_1, 都有 | a_n-A | < √ε 對任意的 √ε > 0, 存在自然數 N_2, 使得對所有的 n > N_2, 都有 | b_n-B | < √ε 我們取 N = max{N_1,N_2}. 這樣每個 n > N, 我們有 | (a_n-A)(b_n-B) | < ε. 又 a_n * b_n - A * B = (a_n - A)(b_n - B) + A(b_n - B) + B(a_n - A). 用 lim (a_n+b_n) = A + B 和 lim (c a_n) = cA. 所以 lim (a_n b_n - AB) = 0. (最後證明 lim (a_n / b_n) = A / B 如果 B≠0). 我們先證 lim (1/b_n) = 1/B, 再用上面的結果吧 :) 選一個自然數 m 使得 | b_n - B | < | B |/2. 如果 n > m 的時候, 我們可以看到 | b_n | > | B |/2. |B|^2 ε 對任意的 ε > 0, 存在自然數 N > m 使得當 n > N 時, 我們有 |b_n-B| < ---------- 2 b_n-B 2 因此, 當 n > N 的時候, | 1/b_n - 1/B | = | ------- | < -------|b_n-B| < ε. b_n B |B|^2 -- ┌─ 無名小站 WebBBS ──── http://wretch.twbbs.org/WebBBS/ ─┐ │ │ └─ 分類討論區 ─┐ ┌─ Gossip ─┐ │ │ │ │ │ └─ Personal ─┘ └─ P_plover ─┘ --

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