※ 引述《WMX (在家当米虫)》之铭言： : 1. : An=(-1)^n : {-1,1,-1,1,-1,1,-1,1....} : 试证：以上数列不收敛。 这边把 数列极限的定义 写在下面: (底下指的数列都是指无穷数列). 对於任意的实数 ε > 0, 如果有一个自然数 N, N 可能是 ε 的函数, P → 让所有的 n ≧(或 >) N, 都能满足 | a_n - A | < ε, Q → 我们就说 {a_n} 有极限 A (或者说 {a_n} 收敛到 A). 简记成 lim a_n = A 或 a_n -> A as n -> +oo. n->+oo 这边要注意的是: 定义是一个充要条件. 即 P <=> Q. 如果说没有一个实数 A 满足上面的定义, 我们就说 {a_n} 没有极限 (或说发散). 有时候我们需要说明: {a_n} 没有收敛到 0 (为了简化讨论, 所以让 A = 0), 为了正确得到 P 的正确逆命题, 我们可以用底下的步骤慢慢表达: (1) 存在一个 ε_0 > 0, 使得具有 P 中的自然数 N 找不到. (2) 存在一个 ε_0 > 0, 使得对任意的 N, 不能够对所有的 n, 当 n > N 时, 能够满足 | a_n | < ε_0. (3) 存在一个 ε_0 > 0, 使得对任意的 N, 有 n' > N, 使得 | a_n' | ≧ ε_0. 这个才是正确的逆命题. 底下是 (3) 的等价叙述 (请自己去证明吧): (3)' 存在一个 ε_0 > 0 及一个自然数子数列 {n_k}, n_k 递增到 +oo, 使得 | a_n_k | ≧ ε_0. ----------------------------------------------------------------------------- 看完上面的东西，对我底下的做法，没有理由说不懂吧 /_\ 假设 {a_n} -> A. 现在我们分两种情况。（上面你有点写错，a_n 第一项是 -1) (Case-1): A = 1. 我们在上面的说明 (3)' 中取 ε_0 = 1 > 0, n_k = 2k-1, 也就是取 奇数项。那麽对任意的 N, 有 n_k > N, 使得 | a_n_k-1 | = |-1-1| = 2 ≧ 1 = ε_0. (Case-2) A≠1. 我们在上面的说明 (3)' 中取 ε_0 = |A-1|/2 > 0, n_k = 2k, 也就是取 偶数项。那麽对任意的 N, 有 n_k > N, 使得 | a_n_k-A | = |1-A| > 1/2|1-A| = ε_0. 所以 {a_n} 不收敛 :pp ----------------------------------------------------------------------------- 或者用底下的 Theorem: (Thm): 数列有极限 A <=> 任一子数列也有极限 A 证明: (必要性) 对於任意的实数 ε > 0, 如果有一个自然数 N, N 可能是 ε 的函数, 让所有的 n > N, 都能满足 | a_n - A | < ε. 对任意的 {a_n_k}, 当 n_k > N 时, 由上式我们有 | a_n_k - A | < ε. 证完! (充分性) 用反证法. 若 {a_n} 不以 A 为极限值, 则存在一个 ε_0 > 0 及一个自然数子数列 {n_k}, n_k 递增到 +oo, 使得 | a_n_k | ≧ ε_0. 矛盾! 我们发现 {1,1,...} -> 1 和 {-1,-1,...} -> -1 都是 {a_n} 的子数列, 但 1≠-1, 所以 {a_n} 不收敛. : 　 : 2. : If lim An & lim Bn exist ,then : lim(AnBn) = (lim An)(lim Bn) : n->∞ n->∞ n->∞ : 试证之。 : 谢谢各位大大～ 免费赠送其他三个的证明 :pp ----------------------------------------------------------------------------- (极限运算): 如果数列 {a_n} 收敛到 A, 数列 {b_n} 收敛到 B. (A, B 为实数), 则我们有: lim (a_n + b_n) = A + B. n->oo lim (a_n - b_n) = A - B. n->oo lim (a_n * b_n) = A * B. n->oo lim (a_n / b_n) = A / B, 这边假设 B ≠ 0. n->oo 证明: (先证 lim (a_n + b_n) = A + B) 对任意的 ε/2 > 0, 存在自然数 N_1, 使得对所有的 n > N_1, 都有 | a_n-A | < ε/2 对任意的 ε/2 > 0, 存在自然数 N_2, 使得对所有的 n > N_2, 都有 | b_n-B | < ε/2 如果我们取 N = max{N_1,N_2}, 则显然有 ε > 0, 存在自然数 N, 使得对每个 n > N, 都有 | a_n - A | < ε, | b_n - B | < ε. 因此 | (a_n+b_n) - (A+B) | = | (a_n-A) + (b_n-B) | ≦ | a_n-A | + | b_n-B | < ε/2 + ε/2 = ε. lim (a_n - b_n) = A - B 证明类似, 请自己练习吧. n->oo (接着证明 lim (a_n * b_n) = A * B) 对任意的 √ε > 0, 存在自然数 N_1, 使得对所有的 n > N_1, 都有 | a_n-A | < √ε 对任意的 √ε > 0, 存在自然数 N_2, 使得对所有的 n > N_2, 都有 | b_n-B | < √ε 我们取 N = max{N_1,N_2}. 这样每个 n > N, 我们有 | (a_n-A)(b_n-B) | < ε. 又 a_n * b_n - A * B = (a_n - A)(b_n - B) + A(b_n - B) + B(a_n - A). 用 lim (a_n+b_n) = A + B 和 lim (c a_n) = cA. 所以 lim (a_n b_n - AB) = 0. (最後证明 lim (a_n / b_n) = A / B 如果 B≠0). 我们先证 lim (1/b_n) = 1/B, 再用上面的结果吧 :) 选一个自然数 m 使得 | b_n - B | < | B |/2. 如果 n > m 的时候, 我们可以看到 | b_n | > | B |/2. |B|^2 ε 对任意的 ε > 0, 存在自然数 N > m 使得当 n > N 时, 我们有 |b_n-B| < ---------- 2 b_n-B 2 因此, 当 n > N 的时候, | 1/b_n - 1/B | = | ------- | < -------|b_n-B| < ε. b_n B |B|^2 -- ┌─ 无名小站 WebBBS ──── http://wretch.twbbs.org/WebBBS/ ─┐ │ │ └─ 分类讨论区 ─┐ ┌─ Gossip ─┐ │ │ │ │ │ └─ Personal ─┘ └─ P_plover ─┘ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 140.112.247.33