(這篇文章的主體是暑假寫的，一直想修修改改，結果就...總之，希望可以給台灣對數學 有興趣的中學生一些不同的觀點。歡迎轉錄。) 這篇文章的主要對象，是給已經或可能將在國際數學奧林匹亞-IMO以及在台灣相關的競賽 (為求簡短，以下簡稱數奧)投資時間與精神的中學生。想談的是什麼是近代數學(亦即現 在的數學家、物理學家、其他科學等使用的學問)，近代數學和數奧有哪些不同，以及從 此延伸出的一些建議。 自我介紹一下，筆者參加過2004、2005、2007、2009的台灣IMO隊。前兩次是選手，僥倖 拿了兩次金牌，後兩次是觀察員(類似教練)。之後畢業於台大數學系，再於Harvard數學 系取得博士學位。我過去以各種身分參加過2003至2012年的IMO台灣隊選訓、培訓。現在 剛開始投入數學研究，希望能以自己的經驗來從各方面進行這篇文章的討論。 一. 初等數學、高等數學、和數奧的性質異同 (註：以下所舉的數學例子對於中學生應當非常困難。這主要還是我個人能力有限，沒能 夠以更為簡單的方式說明，請讀者不要被嚇到。) 我們先從中學生可能比較熟悉的數奧開始，什麼是數奧討論的問題呢？譬如看下面兩個問 題： (i) 證明對任意質數r，都存在質數p使得對任意整數n，n^r-r皆不被p整除。(2003年IMO 第六題) (ii) 證明對任意正整數C，皆存在正整數n與質數p，滿足p是n^2+1的質因數且p>C×n。 (4k+1版本的質數定理。可見2008年IMO第三題於預選題集裡的附註) 第一道題目曾經出現在IMO，第二道題目則不能夠出現。這並不是因為第一道問題的敘述 比第二道問題初等，而是因為我們不知道要怎麼用初等方法解決第二道問題。這裡的例子 是為了說明：並不是數學本身被直接分成初等數學和高等數學(在筆者的高中年代，這是 當時參與數奧的高中生的主流看法)。而是要解決一個數學問題，本身可能會(或不會)使 用比我們一開始想像的更多的工具。數奧所問的問題，是那些被選出的恰巧不需要什麼工 具的問題。相較之下，高等數學是一開始在十七、十八世紀是為了解決初等問題所發展的 學問。後來，隨著高等數學的不斷發展，有更多的高等數學是為了解決「為了解決初等問 題而提出的高等問題」而被研究(或是『為了解決為了解決初等問題而提出的高等問題而 提出的高等問題』..目前看來任何深度都有可能，例如費馬最後定理的證明)。 大學生會學到的數學必修課：基礎的分析(俗稱的微積分和高等微積分)和抽象代數(可見 文末的參考書目)大約可以說是為了解決初等問題而發展的高等數學。事實上比起數奧， 這些初等問題往往更加原始(或是自然，或是單純，看個人品味)。這是因為原始的問題往 往要不就非常簡單，要不就真有些什麼道理在裡頭。例如我們看： (iii) 證明任何非常數的複係數多項式p(z)都有根，也就是存在複數z使得p(z)=0。 常見的證明有兩種：第一種方法是假設z是使得絕對值|p(z)|最小的複數，那麼可以證明 如果p(z)≠0，則可以用直接計算證明總是可能稍稍擾動z使得|p(z)|變的更小，從而矛盾 。這裡的技術關鍵在於要如何證明真的存在z使得|p(z)|達到最小值，這是一般高等微積 分課的第一學期在學習compactness的時候會學到的。第二種方法是觀察到：令n為p(z)的 次數。如果固定|z|的絕對值為一個很大的正實數r讓z繞著原點轉動，則p(z)會繞原點n圈 (什麼意思？)。但當r=0時p(z)是不會動的，從而推論在某個r，p(z)必須經過原點。要將 這個論述變成嚴格的證明一般會使用到最基本的代數拓撲的知識，或者在這個例子裡可以 用簡單的連續性概念來實現。 再舉一例：前面的問題(i)事實上有個高等數學的證明。我們有如下的定理：對任意一個n 次不可分解的整係數多項式f(x)以及任意質數p，我們可以考慮f(x) mod p再分解後得到 的因式(同餘p的計算一樣可以進行輾轉相除法，因此每個 mod p的多項式一樣地可以唯一 分解成不可分解的質因式的乘積)，這些因式的次數的總和為n。對不同的p，我們得到一 些不同的總和為n的正整數的組合。我們可以討論每種組合出現的機率：對於任意一個很 大的正整數N，我們考慮小於N的質數裡面出現指定組合在所有小於N的質數裡的比例。近 代數論可以證明當N趨近無窮時存在一個極限，這個極限我們可以想做是這種組合出現的 「機率」。這些「機率」必定是有理數，並且可以用Galois theory來計算(跟f(x)的分解 體(splitting field)有關，這裡回來了大學抽象代數的範圍)。例如固定質數r和多項式 f(x)=n^r-r，則每個質數p會有恰好1/r的「機率」使得f(x) mod p依然不可分解，從而也 沒有根。這給出了遠比原本問題還要令人滿意許多的答案。 希望以上的討論能大概讓讀者對於高等數學和數奧的內涵與異同有些想像。 二. 對數奧的擅長 vs 對數學的擅長 在筆者高中年代到2010年前後，中學生似乎常有這樣的觀念：(a)那些擅長數奧的同學掌 握了某種天分，要像那樣才會無往而不利。或是認為(b)要有參與IMO的本事才能當一個大 數學家，或是認為(c)要成為一個大數學家就像要比好數奧一樣，需要某種天生的資質。 筆者不知道這些想法是不是在現在的中學生圈子裡一樣的流行(在FB牆上看起來似乎如此) 。這些想法從筆者經驗看來，有些並不正確。而其中沒大錯的，它的運作方式也與我們高 中時想的不太一樣。這裡盡量從自己的經驗進行討論： 一樣的從數奧先開始。首先數奧的關鍵天分其中之一是早熟；就算侷限在數奧類型的競賽 ，一個人16歲的時候做數奧問題贏不過別人未必代表他21歲的時候也一樣；這點可以從美 國USAMO和Putnam競賽的此消彼長來觀察。在任何中學競賽裡，要是在學習上比同學早熟 個一歲就不得了了，但是以人生的任何事業來說一年實在不是太大的數字。 再來的問題是數奧本身的天分究竟是怎樣的一種天分。筆者的看法是這個天分可以說是數 學所需的天分的其中之一，若以重要性而論也許佔了其中三至四成。事實上从筆者認識的 IMO選手看來，數奧的天分似乎更為貼近資訊科學所需要的天分。我國的IMO選手近年來約 有一半就讀資工系或是就讀電機系之後轉到資工的領域，有可能是適才適所。反過來說， 把數奧的教育當成數學教育就顯得很不精確。 至於學習數學，這裡狹隘的只討論做數學研究。什麼樣的人適合做數學研究呢？在筆者經 驗裡，數學研究需要兩種天賦：一是能夠理解、觀察並欣賞數學的天賦，二是能夠操作數 學的天賦。在這個(抽象且不精確的)分類裡，擅長數奧的天賦可能跟第二項相當接近。那 第一項是什麼意思呢？ 首先，一個數學家必須能夠打從內心的欣賞往往相當困難的數學才能繼續走下去。毅力可 以讓自己一天坐在書桌前十四個小時(...而且不打開facebook或PTT)，可卻沒辦法讓自己 的腦子真的在專心思考數學，而後者是數學研究成功的必要起點。再者，近代數學從約略 牛頓的時代以來發展了三百多年，由於偏偏就是有這麼多問題如此的困難，我們必須要( 也很幸運的能夠)站在以前數學家的成果上再往前走一步。能夠觀察並且深刻理解這些過 去數學家的成果，是一種非常重要且難得的天賦。對筆者來說，這是一種全然在不同於數 奧經驗的素質，而且在數學研究上重要性絕不遜於數奧強調的解決問題的能力。筆者在 Harvard求學，見過不少天賦異稟令筆者非常佩服的同學，他們之中有些人在高中時也嘗 試過數學競賽，卻在當時距離選上國家代表隊相當遙遠，只能說「兩件事本來就不一定有 關係啊，誰跟你說有關係的？」 最後在這裡依自己經驗給個簡單而非常粗糙的模型：令A為一個六面骰的點數給出的隨機 變數，B,C為一直丟硬幣丟到出現正面為止的次數給出的兩個(獨立)隨機變數。A,B,C是隱 藏數字，但一個人在數奧的天分是A×B，而在數學的天分是B×C。或許這可以讓我們直觀 的想像數奧表現和適合學習數學的程度兩者間的關係，希望分享給在中學的同學們。 三. 建議 再來是筆者從自己的經驗出發，想要給會接觸數奧的中學生的建議： 1. 在高中階段知道自己將來的興趣並不是很容易。在筆者的高中時代(十年前)，參加數 奧對知道自己將來興趣的幫助非常有限－差不多唯一的幫助是多認識些朋友好能多吸收觀 點來幫助自己做決定。如果不知道自己想要做什麼的話，投入太多時間在數奧在筆者看來 是有些危險。筆者高中當時有一種「反正我不想做科學研究就去念電機」的氛圍。那個時 候有出國比IMO，之後念電機系的同學，約莫六七成後來轉到資工相關領域去了。後來也 聽過認為當時念電機是繞了冤枉路的說法，不知道這樣想的同學比例如何。另外那些去國 外念大學的同學(歐美大一往往不分系)，除了念數學以外也往往最後都念些與在台灣的同 學不一樣的科系。 在筆者想來，高中階段將一部分的時間精力投入在找尋自己的興趣(如果還沒有個方向)肯 定是值得的，話說回來，可能參加數奧的學生不管是去學些基礎的高等數學(分析、抽象 代數)，物理，或是程式設計等等，都是將來肯定會用到的知識，並且在高三要選志願之 前可以幫助自己做更好的決定。 2. 對於有志於數學研究的同學來說，嘗試研讀分析和抽象代數是絕對必要的，否則你很 難了解數學究竟是什麼，更遑論興趣。這些東西都是必要的學習，絕對不會白讀。反過來 說，如果你開始學了一些分析與抽象代數卻沒有很想學下去，那再改行也是個好選項。事 實上，許多數學學習上優秀的學生往往國中時就熟悉高中數學物理課本裡的不少知識，在 高中時期是有能力走得更遠的。 目前主要的學習困難可能是做為高中生自學高等數學比較寂寞無趣，不過現在給高中生的 這方面的資源似乎比筆者當時多許多，例如在大學修課不再像當時是極為稀有的事情，以 及台大數學系現在給高中生的人才培育計畫數學潛水艇等等，可以期待台灣的相關學習環 境也會持續的變得對高中生越來越友善。 3. 對於想要做數學研究以及進入資訊科學/工程的同學來說，筆者認為數奧的訓練可能有 幫助。數奧的優點之一是只需要有同學好友能夠討論，就可以很有效率的進行，相較之下 台灣其他類型的學習資源或許還在初步發展階段。在這樣的背景之下，特別適合數奧的少 數中學生可以浸淫在數奧中學習到一些對將來有用的經驗。 另一方面，數奧對於未來的學習並非必要。筆者的觀察是，擅長數奧的學生可能靠自己的 能力推導出一些稍微深刻的結果或是發展稍微深刻的解題方法，但筆者自己從未見過任何 IMO裡的經驗能夠比數學系大二標準教材的分析與抽象代數還要深刻。縱然如此，數奧的 經驗貴在是自己或與朋友一同思考推導的心得，筆者自己現在也覺得對自己的數學研究稍 有些助益。但如果一個學生不適合數奧，那參與數奧無疑是走上了一條不值得的歧路。 四. 附註. 最後感謝齊震宇學長，許綺云，黃道生，陳伯恩和許多其他朋友，容忍我拙劣的文筆並對 這篇文章提供許多建議。本來希望對如何學習高等數學、如何了解數奧以及兩者共通之處 分別提出一些建議。但一直沒有時間蒐集資料，只好停筆於此。 -- --

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