(这篇文章的主体是暑假写的，一直想修修改改，结果就...总之，希望可以给台湾对数学 有兴趣的中学生一些不同的观点。欢迎转录。) 这篇文章的主要对象，是给已经或可能将在国际数学奥林匹亚-IMO以及在台湾相关的竞赛 (为求简短，以下简称数奥)投资时间与精神的中学生。想谈的是什麽是近代数学(亦即现 在的数学家、物理学家、其他科学等使用的学问)，近代数学和数奥有哪些不同，以及从 此延伸出的一些建议。 自我介绍一下，笔者参加过2004、2005、2007、2009的台湾IMO队。前两次是选手，侥幸 拿了两次金牌，後两次是观察员(类似教练)。之後毕业於台大数学系，再於Harvard数学 系取得博士学位。我过去以各种身分参加过2003至2012年的IMO台湾队选训、培训。现在 刚开始投入数学研究，希望能以自己的经验来从各方面进行这篇文章的讨论。 一. 初等数学、高等数学、和数奥的性质异同 (注：以下所举的数学例子对於中学生应当非常困难。这主要还是我个人能力有限，没能 够以更为简单的方式说明，请读者不要被吓到。) 我们先从中学生可能比较熟悉的数奥开始，什麽是数奥讨论的问题呢？譬如看下面两个问 题： (i) 证明对任意质数r，都存在质数p使得对任意整数n，n^r-r皆不被p整除。(2003年IMO 第六题) (ii) 证明对任意正整数C，皆存在正整数n与质数p，满足p是n^2+1的质因数且p>C×n。 (4k+1版本的质数定理。可见2008年IMO第三题於预选题集里的附注) 第一道题目曾经出现在IMO，第二道题目则不能够出现。这并不是因为第一道问题的叙述 比第二道问题初等，而是因为我们不知道要怎麽用初等方法解决第二道问题。这里的例子 是为了说明：并不是数学本身被直接分成初等数学和高等数学(在笔者的高中年代，这是 当时参与数奥的高中生的主流看法)。而是要解决一个数学问题，本身可能会(或不会)使 用比我们一开始想像的更多的工具。数奥所问的问题，是那些被选出的恰巧不需要什麽工 具的问题。相较之下，高等数学是一开始在十七、十八世纪是为了解决初等问题所发展的 学问。後来，随着高等数学的不断发展，有更多的高等数学是为了解决「为了解决初等问 题而提出的高等问题」而被研究(或是『为了解决为了解决初等问题而提出的高等问题而 提出的高等问题』..目前看来任何深度都有可能，例如费马最後定理的证明)。 大学生会学到的数学必修课：基础的分析(俗称的微积分和高等微积分)和抽象代数(可见 文末的参考书目)大约可以说是为了解决初等问题而发展的高等数学。事实上比起数奥， 这些初等问题往往更加原始(或是自然，或是单纯，看个人品味)。这是因为原始的问题往 往要不就非常简单，要不就真有些什麽道理在里头。例如我们看： (iii) 证明任何非常数的复系数多项式p(z)都有根，也就是存在复数z使得p(z)=0。 常见的证明有两种：第一种方法是假设z是使得绝对值|p(z)|最小的复数，那麽可以证明 如果p(z)≠0，则可以用直接计算证明总是可能稍稍扰动z使得|p(z)|变的更小，从而矛盾 。这里的技术关键在於要如何证明真的存在z使得|p(z)|达到最小值，这是一般高等微积 分课的第一学期在学习compactness的时候会学到的。第二种方法是观察到：令n为p(z)的 次数。如果固定|z|的绝对值为一个很大的正实数r让z绕着原点转动，则p(z)会绕原点n圈 (什麽意思？)。但当r=0时p(z)是不会动的，从而推论在某个r，p(z)必须经过原点。要将 这个论述变成严格的证明一般会使用到最基本的代数拓扑的知识，或者在这个例子里可以 用简单的连续性概念来实现。 再举一例：前面的问题(i)事实上有个高等数学的证明。我们有如下的定理：对任意一个n 次不可分解的整系数多项式f(x)以及任意质数p，我们可以考虑f(x) mod p再分解後得到 的因式(同余p的计算一样可以进行辗转相除法，因此每个 mod p的多项式一样地可以唯一 分解成不可分解的质因式的乘积)，这些因式的次数的总和为n。对不同的p，我们得到一 些不同的总和为n的正整数的组合。我们可以讨论每种组合出现的机率：对於任意一个很 大的正整数N，我们考虑小於N的质数里面出现指定组合在所有小於N的质数里的比例。近 代数论可以证明当N趋近无穷时存在一个极限，这个极限我们可以想做是这种组合出现的 「机率」。这些「机率」必定是有理数，并且可以用Galois theory来计算(跟f(x)的分解 体(splitting field)有关，这里回来了大学抽象代数的范围)。例如固定质数r和多项式 f(x)=n^r-r，则每个质数p会有恰好1/r的「机率」使得f(x) mod p依然不可分解，从而也 没有根。这给出了远比原本问题还要令人满意许多的答案。 希望以上的讨论能大概让读者对於高等数学和数奥的内涵与异同有些想像。 二. 对数奥的擅长 vs 对数学的擅长 在笔者高中年代到2010年前後，中学生似乎常有这样的观念：(a)那些擅长数奥的同学掌 握了某种天分，要像那样才会无往而不利。或是认为(b)要有参与IMO的本事才能当一个大 数学家，或是认为(c)要成为一个大数学家就像要比好数奥一样，需要某种天生的资质。 笔者不知道这些想法是不是在现在的中学生圈子里一样的流行(在FB墙上看起来似乎如此) 。这些想法从笔者经验看来，有些并不正确。而其中没大错的，它的运作方式也与我们高 中时想的不太一样。这里尽量从自己的经验进行讨论： 一样的从数奥先开始。首先数奥的关键天分其中之一是早熟；就算局限在数奥类型的竞赛 ，一个人16岁的时候做数奥问题赢不过别人未必代表他21岁的时候也一样；这点可以从美 国USAMO和Putnam竞赛的此消彼长来观察。在任何中学竞赛里，要是在学习上比同学早熟 个一岁就不得了了，但是以人生的任何事业来说一年实在不是太大的数字。 再来的问题是数奥本身的天分究竟是怎样的一种天分。笔者的看法是这个天分可以说是数 学所需的天分的其中之一，若以重要性而论也许占了其中三至四成。事实上从笔者认识的 IMO选手看来，数奥的天分似乎更为贴近资讯科学所需要的天分。我国的IMO选手近年来约 有一半就读资工系或是就读电机系之後转到资工的领域，有可能是适才适所。反过来说， 把数奥的教育当成数学教育就显得很不精确。 至於学习数学，这里狭隘的只讨论做数学研究。什麽样的人适合做数学研究呢？在笔者经 验里，数学研究需要两种天赋：一是能够理解、观察并欣赏数学的天赋，二是能够操作数 学的天赋。在这个(抽象且不精确的)分类里，擅长数奥的天赋可能跟第二项相当接近。那 第一项是什麽意思呢？ 首先，一个数学家必须能够打从内心的欣赏往往相当困难的数学才能继续走下去。毅力可 以让自己一天坐在书桌前十四个小时(...而且不打开facebook或PTT)，可却没办法让自己 的脑子真的在专心思考数学，而後者是数学研究成功的必要起点。再者，近代数学从约略 牛顿的时代以来发展了三百多年，由於偏偏就是有这麽多问题如此的困难，我们必须要( 也很幸运的能够)站在以前数学家的成果上再往前走一步。能够观察并且深刻理解这些过 去数学家的成果，是一种非常重要且难得的天赋。对笔者来说，这是一种全然在不同於数 奥经验的素质，而且在数学研究上重要性绝不逊於数奥强调的解决问题的能力。笔者在 Harvard求学，见过不少天赋异禀令笔者非常佩服的同学，他们之中有些人在高中时也尝 试过数学竞赛，却在当时距离选上国家代表队相当遥远，只能说「两件事本来就不一定有 关系啊，谁跟你说有关系的？」 最後在这里依自己经验给个简单而非常粗糙的模型：令A为一个六面骰的点数给出的随机 变数，B,C为一直丢硬币丢到出现正面为止的次数给出的两个(独立)随机变数。A,B,C是隐 藏数字，但一个人在数奥的天分是A×B，而在数学的天分是B×C。或许这可以让我们直观 的想像数奥表现和适合学习数学的程度两者间的关系，希望分享给在中学的同学们。 三. 建议 再来是笔者从自己的经验出发，想要给会接触数奥的中学生的建议： 1. 在高中阶段知道自己将来的兴趣并不是很容易。在笔者的高中时代(十年前)，参加数 奥对知道自己将来兴趣的帮助非常有限－差不多唯一的帮助是多认识些朋友好能多吸收观 点来帮助自己做决定。如果不知道自己想要做什麽的话，投入太多时间在数奥在笔者看来 是有些危险。笔者高中当时有一种「反正我不想做科学研究就去念电机」的氛围。那个时 候有出国比IMO，之後念电机系的同学，约莫六七成後来转到资工相关领域去了。後来也 听过认为当时念电机是绕了冤枉路的说法，不知道这样想的同学比例如何。另外那些去国 外念大学的同学(欧美大一往往不分系)，除了念数学以外也往往最後都念些与在台湾的同 学不一样的科系。 在笔者想来，高中阶段将一部分的时间精力投入在找寻自己的兴趣(如果还没有个方向)肯 定是值得的，话说回来，可能参加数奥的学生不管是去学些基础的高等数学(分析、抽象 代数)，物理，或是程式设计等等，都是将来肯定会用到的知识，并且在高三要选志愿之 前可以帮助自己做更好的决定。 2. 对於有志於数学研究的同学来说，尝试研读分析和抽象代数是绝对必要的，否则你很 难了解数学究竟是什麽，更遑论兴趣。这些东西都是必要的学习，绝对不会白读。反过来 说，如果你开始学了一些分析与抽象代数却没有很想学下去，那再改行也是个好选项。事 实上，许多数学学习上优秀的学生往往国中时就熟悉高中数学物理课本里的不少知识，在 高中时期是有能力走得更远的。 目前主要的学习困难可能是做为高中生自学高等数学比较寂寞无趣，不过现在给高中生的 这方面的资源似乎比笔者当时多许多，例如在大学修课不再像当时是极为稀有的事情，以 及台大数学系现在给高中生的人才培育计画数学潜水艇等等，可以期待台湾的相关学习环 境也会持续的变得对高中生越来越友善。 3. 对於想要做数学研究以及进入资讯科学/工程的同学来说，笔者认为数奥的训练可能有 帮助。数奥的优点之一是只需要有同学好友能够讨论，就可以很有效率的进行，相较之下 台湾其他类型的学习资源或许还在初步发展阶段。在这样的背景之下，特别适合数奥的少 数中学生可以浸淫在数奥中学习到一些对将来有用的经验。 另一方面，数奥对於未来的学习并非必要。笔者的观察是，擅长数奥的学生可能靠自己的 能力推导出一些稍微深刻的结果或是发展稍微深刻的解题方法，但笔者自己从未见过任何 IMO里的经验能够比数学系大二标准教材的分析与抽象代数还要深刻。纵然如此，数奥的 经验贵在是自己或与朋友一同思考推导的心得，笔者自己现在也觉得对自己的数学研究稍 有些助益。但如果一个学生不适合数奥，那参与数奥无疑是走上了一条不值得的歧路。 四. 附注. 最後感谢齐震宇学长，许绮云，黄道生，陈伯恩和许多其他朋友，容忍我拙劣的文笔并对 这篇文章提供许多建议。本来希望对如何学习高等数学、如何了解数奥以及两者共通之处 分别提出一些建议。但一直没有时间蒐集资料，只好停笔於此。 -- --

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