6. Determine all positive integers n for which there exist non-negative integers a_1, a_2, ...,a_n such that: 1 1 1 1 2 n ----- + ----- + ... + ----- = ----- + ----- + ... + ----- = 1 2^a_1 2^a_2 2^a_n 3^a_1 3^a_2 3^a_n 原本看到第六題擺自己的強項差點傻眼 我原本沒什麼信心能把它解出來的:D 可是做出來了不發文一下怎麼行!!!!! > < = = = 防雷線 = = = (1) 首先我們說明, 所有 n = 0 or 3 (mod 4) 是不可能的, 因為三的冪次那一組相加 不可能等於 1. 通分時, 分子都是乘上奇數前後並不改變奇偶性, 因此如果同分完分子 總和為偶那根本沒有機會. 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2 在上述的狀況為偶 數, 故不合. (2) 接下來我們說明所有 n = 1 or 2 (mod 4) 是可行的. 最直覺的方法就是給出幾個 base cases 之後, 運用歸納的方法構造所有的答案. 在我的方法當中, 需要的 base cases 為 n = 1, n = 5 與 n = 9, 條列如下: n = 1: (a1, a2, ..., an) = (0) n = 5: (a1, a2, ..., an) = (2,2,2,3,3) n = 9: (a1, a2, ..., an) = (2,2,4,4,3,3,5,5,4) 接下來宣稱: i. n = 4m + 1 可以推出 n = 4m + 2; ii. n = 4m + 2 可以推出 n = 4m + 13. 這樣就足以跑遍所有 n = 1 or 2 (mod 4) 的狀況 至於代換的方式, 其中一個馬上就可以想到, 另外一個試了有點久 然後這是我解出來太high的狀況下 立刻去 mathlinks 發的文 (11F) 因為好久沒有完整解出第六題了!!!!!!! > < http://tinyurl.com/cczmb5h 那麼方法就不繼續打下去了 :D 說實在的 做完這題其實根本沒有第六題的感覺...... --

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