6. Determine all positive integers n for which there exist non-negative integers a_1, a_2, ...,a_n such that: 1 1 1 1 2 n ----- + ----- + ... + ----- = ----- + ----- + ... + ----- = 1 2^a_1 2^a_2 2^a_n 3^a_1 3^a_2 3^a_n 原本看到第六题摆自己的强项差点傻眼 我原本没什麽信心能把它解出来的:D 可是做出来了不发文一下怎麽行!!!!! > < = = = 防雷线 = = = (1) 首先我们说明, 所有 n = 0 or 3 (mod 4) 是不可能的, 因为三的幂次那一组相加 不可能等於 1. 通分时, 分子都是乘上奇数前後并不改变奇偶性, 因此如果同分完分子 总和为偶那根本没有机会. 1 + 2 + 3 + ... + n = n (n+1) / 2 在上述的状况为偶 数, 故不合. (2) 接下来我们说明所有 n = 1 or 2 (mod 4) 是可行的. 最直觉的方法就是给出几个 base cases 之後, 运用归纳的方法构造所有的答案. 在我的方法当中, 需要的 base cases 为 n = 1, n = 5 与 n = 9, 条列如下: n = 1: (a1, a2, ..., an) = (0) n = 5: (a1, a2, ..., an) = (2,2,2,3,3) n = 9: (a1, a2, ..., an) = (2,2,4,4,3,3,5,5,4) 接下来宣称: i. n = 4m + 1 可以推出 n = 4m + 2; ii. n = 4m + 2 可以推出 n = 4m + 13. 这样就足以跑遍所有 n = 1 or 2 (mod 4) 的状况 至於代换的方式, 其中一个马上就可以想到, 另外一个试了有点久 然後这是我解出来太high的状况下 立刻去 mathlinks 发的文 (11F) 因为好久没有完整解出第六题了!!!!!!! > < http://tinyurl.com/cczmb5h 那麽方法就不继续打下去了 :D 说实在的 做完这题其实根本没有第六题的感觉...... --

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