閒著沒事，解舊題。因為是在路上，發現奇怪這題可以心算:::(心證？自由心證？) 然後剛查過Shortlist解非常詭異，不知道是不是因此才榮登No.3 Problem 3. Suppose that s_1, s_2, s_3, ... is a strictly increasing sequence of positive integers such that the subsequence s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, ... and s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, ... are both arithmetic progressions. Prove that the sequence s_1, s_2, s_3, ... is itself an arithmetic progression. Step 1: "兩個子序列的公差一樣"，設為D 因為 s_1<s_1+1<=s_2<s_2_1<.... 再取一次s，有一樣的不等式。兩子序列的極限=公差比，只可能是1， 不然必有一個會被另一超過。 此時又知 s_(s_n+1)-s_s_n = P, s_(s_(n+1))-s_(s_n+1)=Q為定值, P+Q=D Step 2: "{s_(n+1)-s_n}" 有界" 顯然介於0和D之間 取最大值M，最小值m 由此可得 M(a-b)>= s_a-s_b >= m(a-b) Step 3: "D=Mm" D=s_s_(n+1)-s_n >= m(s_(n+1)-s_n)，對n取最大值得 D>=mM 類似的由 D <= M(s_(n+1)-s_n)，對n取最小值得 D<=mM Step 4: "P=m" 顯然P>=m，用Step 3方法可知 Q>=m(M-1)，故取等號 Step 5: "M=P=m" 類似Step 4. 贊曰：Shortlist解最奇怪的地方就是沒有先證兩個公差一樣 導致後面夜長夢多::: 這只有Step 2,3 是一樣的 -- r=e^theta 即使有改變，我始終如一。 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 75.119.2.236 ※ 編輯: LimSinE 來自: 75.119.2.236 (07/30 13:54)