闲着没事，解旧题。因为是在路上，发现奇怪这题可以心算:::(心证？自由心证？) 然後刚查过Shortlist解非常诡异，不知道是不是因此才荣登No.3 Problem 3. Suppose that s_1, s_2, s_3, ... is a strictly increasing sequence of positive integers such that the subsequence s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, ... and s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, ... are both arithmetic progressions. Prove that the sequence s_1, s_2, s_3, ... is itself an arithmetic progression. Step 1: "两个子序列的公差一样"，设为D 因为 s_1<s_1+1<=s_2<s_2_1<.... 再取一次s，有一样的不等式。两子序列的极限=公差比，只可能是1， 不然必有一个会被另一超过。 此时又知 s_(s_n+1)-s_s_n = P, s_(s_(n+1))-s_(s_n+1)=Q为定值, P+Q=D Step 2: "{s_(n+1)-s_n}" 有界" 显然介於0和D之间 取最大值M，最小值m 由此可得 M(a-b)>= s_a-s_b >= m(a-b) Step 3: "D=Mm" D=s_s_(n+1)-s_n >= m(s_(n+1)-s_n)，对n取最大值得 D>=mM 类似的由 D <= M(s_(n+1)-s_n)，对n取最小值得 D<=mM Step 4: "P=m" 显然P>=m，用Step 3方法可知 Q>=m(M-1)，故取等号 Step 5: "M=P=m" 类似Step 4. 赞曰：Shortlist解最奇怪的地方就是没有先证两个公差一样 导致後面夜长梦多::: 这只有Step 2,3 是一样的 -- r=e^theta 即使有改变，我始终如一。 --

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