以下為本人自行翻譯 如果翻譯不妥適 請見諒 ────────────────────────────────────── 問題一：已知a、b、c為正整數。請證明：a^2 +b+c、b^2 +c+a、c^2 +a+b 這三個數不可能都是完全平方數。 問題二：平面上有5個點A_1,A_2,A_3,A_4,A_5，且任3點不共線。考慮所有i、j、k， 試確定所有∠A_iA_jA_k 中最小角度的最大可能值為何。 問題三：已知△ABC為銳角三角形且∠BAC=30°。 分別作∠ABC的內角平分線與外角平分線與直線AC交於點B_1、點B_2； 分別作∠ACB的內角平分線與外角平分線與直線AB交於點C_1、點C_2。 分別以B_1B_2、C_1C_2為直徑作兩圓，假設此兩圓在△ABC內部交於一點P， 請證明：∠BPC=90°。 問題四：令n是一個固定的正奇數。考慮坐標平面上且滿足下列3個條件的m+2個相異點 P_0,P_1,……,P_(m+1)（其中m為非負整數）： （1）P_0=(0,1)、P_(m+1)=(n+1,n)，且對於每個滿足1≦i≦m的整數i， P_i的x坐標與y坐標都是1到n之間的整數（包含1與n）。 （2）對於每個滿足0≦i≦m的整數i：當i為偶數時，P_iP_(i+1)與x軸平行； 當i為奇數時，P_iP_(i+1)與y軸平行。 （3）對於所有滿足0≦i<j≦m的i、j， 線段P_iP_(i+1)與線段P_jP_(j+1)至多交於1個點。 試確定m的最大可能值。 問題五：試確定所有滿足下列2條件的函數f:R→R ，其中R是所有實數所形成的集合： （1）存在實數M，使得對於任意實數x，均有f(x)<M。 （2）對於所有的實數x與y，均有f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)。 英文版原檔：http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO/files/apmo2011_prb.pdf -- 錦瑟無端五十絃...一絃一柱思華年... 莊生曉夢迷蝴蝶...望帝春心託杜鵑... 滄海月明珠有淚...藍田日暖玉生煙... 此情可待成追憶...只是當時已惘然...多情者...情場殺手... --

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