以下为本人自行翻译 如果翻译不妥适 请见谅 ────────────────────────────────────── 问题一：已知a、b、c为正整数。请证明：a^2 +b+c、b^2 +c+a、c^2 +a+b 这三个数不可能都是完全平方数。 问题二：平面上有5个点A_1,A_2,A_3,A_4,A_5，且任3点不共线。考虑所有i、j、k， 试确定所有∠A_iA_jA_k 中最小角度的最大可能值为何。 问题三：已知△ABC为锐角三角形且∠BAC=30°。 分别作∠ABC的内角平分线与外角平分线与直线AC交於点B_1、点B_2； 分别作∠ACB的内角平分线与外角平分线与直线AB交於点C_1、点C_2。 分别以B_1B_2、C_1C_2为直径作两圆，假设此两圆在△ABC内部交於一点P， 请证明：∠BPC=90°。 问题四：令n是一个固定的正奇数。考虑坐标平面上且满足下列3个条件的m+2个相异点 P_0,P_1,……,P_(m+1)（其中m为非负整数）： （1）P_0=(0,1)、P_(m+1)=(n+1,n)，且对於每个满足1≦i≦m的整数i， P_i的x坐标与y坐标都是1到n之间的整数（包含1与n）。 （2）对於每个满足0≦i≦m的整数i：当i为偶数时，P_iP_(i+1)与x轴平行； 当i为奇数时，P_iP_(i+1)与y轴平行。 （3）对於所有满足0≦i<j≦m的i、j， 线段P_iP_(i+1)与线段P_jP_(j+1)至多交於1个点。 试确定m的最大可能值。 问题五：试确定所有满足下列2条件的函数f:R→R ，其中R是所有实数所形成的集合： （1）存在实数M，使得对於任意实数x，均有f(x)<M。 （2）对於所有的实数x与y，均有f(xf(y))+yf(x)=xf(y)+f(xy)。 英文版原档：http://www.mmjp.or.jp/competitions/APMO/files/apmo2011_prb.pdf -- 锦瑟无端五十弦...一弦一柱思华年... 庄生晓梦迷蝴蝶...望帝春心托杜鹃... 沧海月明珠有泪...蓝田日暖玉生烟... 此情可待成追忆...只是当时已惘然...多情者...情场杀手... --

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