2011年02月12日（六） 10：00～12：00 一、「古怪路」上住了53 戶，由近而遠分別編為1, 2, 3,……, 53 號，而且相鄰 的兩戶的間隔都是十公尺。偶數編號的住戶都沒有小孩,奇數編號 2k+1的住戶 正好有(2k+1)^2個小孩。試問： (1) (3分) 「古怪路」上一共有▁▁▁▁▁個小孩。 (2) (4分) 現在要選擇一個住家讓所有「古怪路」的小朋友前來舉辦派對。若想要 讓小朋友走到舉辦地點的距離之總和達到最小, 應該選擇編號▁▁的住 家來舉辦派對。 二、(7分) 將10個箱子編號為1,2,3,……,10，另將10個球編號為1,2,3,……,10。 今規定編號 i的球只能放入編號1,2,3,……,i的箱子， i = 1,2,3,……,10。 求恰有一個空箱子的放球方法數？答：▁▁▁▁種。 三、在直角△ABC 中，∠C = 90°，AC = 4，BC = 3，其中圓O_1,O_2,……,O_n為 n(n≧2) 個相等的圓，令其半徑為r。圓O_1與圓O_2 相外切，圓O_2與圓O_3相 外切，……，圓O_(n-1)與圓O_n相外切，圓O_1,O_2,……,O_n都與AB相切，且 圓O_1與AC相切，圓O_n與BC相切。試問： (1) (2分) 當n = 2 時，r = ▁▁(化成最簡分數)。 (2) (7分) 當n = 2011 時，r = ▁▁▁▁(化成最簡分數)。 四、(7分) 平面上有12個點，且任意三點不共線，以其中任意一點為始點，另一點 為終點作向量，且作出所有的向量。其中 3邊向量的和為零向量的三角形稱為 “零三角形”。求以這些點為頂點的“零三角形”個數的最大值？答：▁▁。 五、質數p 滿足兩個關係式: (i) p = m^2 + n^2；(ii) p可整除m^3 + n^3 - 4， 其中m 與n 是某兩個整數(可以相同)。試問： (1) (3分) 由以上條件可以推導出：如果p≠2，則p 可整除(m + n)^▁ + ▁。 (註: 前格表示次方數) (2) (7分)已知滿足以上條件的質數是有限多個，試求：這些質數的總和？答：▁▁。 ────────────────下一頁為解答──────────────── 1. (1)26235 (2)43 2. 1013 3. (1)5/7 (1)1/805 4. 70 5. (1)3；8 (2)20 -- 錦瑟無端五十絃...一絃一柱思華年... 莊生曉夢迷蝴蝶...望帝春心託杜鵑... 滄海月明珠有淚...藍田日暖玉生煙... 此情可待成追憶...只是當時已惘然...多情者...情場殺手... --

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