※ 引述《LimSinE (r=e^theta)》之銘言： : 可能有見多識廣的強者看過這一題，或是沒看過但是能秒殺。 : 總之，請不吝賜教。這是別人問我的。 : n為自然數，設有A(n;x1,x2,..,xn)種方法將1,2,3...,n，排成樓梯形， : 每列各有x1,x2,...,xn個 : 即滿足 x1>=x2>=...>=xn>=0，x1+x2+...+xn=n ---(*) : 條件是右邊的數比左面大，下面的數比上面大。 : 試證對所有n，Sigma((*)) A(n;x1,x2,...,xn)^2 = n! : 以n=4為例： : x1=4，x2=x3=x4=0，只有1 2 3 4 一種排法，所以A(4;4,0,0,0)=1 : x1=3、x2=1，x3=x4=0，有 1 2 3、1 3 4、2 3 4 三種排法故A(4;3,1,0,0)=3 : 4 2 3 : x1=2、x2=2，x3=x4=0，有 1 2、1 3 兩種排法，故A(4;2,2,0,0)=2 : 3 4 2 4 : x1=2、x2=1、x3=1，x4=0，有 1 2、1 3、1 4 三種排法，故A(4;2,1,1,0)=3 : 3 2 2 : 4 4 3 : x1=x2=x3=x4=1，只有1 一種排法，故A(4;1,1,1,1)=1 : 2 : 3 : 4 : 然後結論是 1^2 + 3^2 + 2^2 + 3^2 + 1^2 = 24 = 4! Hook Length Formula (see Amer. Math. Monthly v 111 number 8, p700) 這是A(n;x1,x2,x3,...,xn)的公式 至於平方和，要再想想XD -- 人，總是殘缺而完美的... 　　 　　殘缺的是任誰終其一生都無法得到一切， 　　　 　　　　　完美的是任誰少了一點就不再是他本人了... 殘缺的我尋尋覓覓找尋著殘缺的你... 且讓我們共同拼出一片無間的 完 美 --

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