作者hiei81 (寶貝。永遠)
看板IMO_Taiwan
標題Re: [問題] 兩個變數的不等式
時間Sun Nov 7 15:12:07 2004
※ 引述《darkseer (進入無限期公假)》之銘言：
: ※ 引述《hiei81 (寶貝。永遠)》之銘言：
: : 交差相乘
: : 原式<=> (1+a+a^2+a^3)(1+b+b^2+b^3) <= (1+(ab)^(3/2))(2+a+b+a^2+b^2+a^3+b^3)
: : Let a=c^2, b=d^2 注意1+(ab)^(3/2)=1+(cd)^3 >= (1+(cd)+(cd)^2+(cd)^3)/2
: : 故現證(1+c^2+c^4+c^6)(1+d^2+d^4+d^6) <=
: : c^2+d^2 c^4+d^4 c^6+d^6
: : (1+cd+(cd)^2+(cd)^3)(1+-------+-------+-------)
: : 2 2 2
: : 之後分項解決即可
: : c^2k*d^2k <= (cd)^k*(c^2k+d^2k)/2 (因c^k*d^k <= (c^2k+d^2k)/2)
: : c^2k*d^2m+c^2m*d^2k <= (cd)^k*(c^2m+d^2m)/2 + (cd)^m*(c^2k+d^2k)/2
: 這一步在k=0 or m=0時會怪怪的
mm，好像反過來了
: : 這個證法可以推廣到3為任意正整數
: 不知道我有沒有搞錯, 但是在用1+(cd)^3>=(1+cd+(cd)^2+(cd)^3)/2 時
: 就等於把原題變成
: 1 1 2
: ----------- + ----------- >= --------------------------
: 1+a+a^2+a^3 1+b+b^2+b^3 1+(ab)^(1/2)+ab+(ab)^(3/2)
: 等價於要去證說
: 1
: f(x)=------------------- 是concave up, 但這不可能成立, 因
: 1+e^x+e^(2x)+e^(3x)
f(x)的二階導數不會恆正嗎?
: f(x) is strictly decreasing and
: lim f(x) = 1
: (x-> -infinty)
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總在最平凡的面孔中，
發現最不平凡的人物...
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◆ From: 140.112.18.71
1F：推 darkseer:若f''(x)恆正且f(x)is trictly decreasing 218.175.181.166 11/07
2F：→ darkseer:則應有f(x)(x -> -infinity)=infinty 矛盾 218.175.181.166 11/07
3F：→ darkseer:不過其實有點麻煩的算一下就可以知道@@ 218.175.181.166 11/07