作者hiei81 (宝贝。永远)
看板IMO_Taiwan
标题Re: [问题] 两个变数的不等式
时间Sun Nov 7 15:12:07 2004
※ 引述《darkseer (进入无限期公假)》之铭言：
: ※ 引述《hiei81 (宝贝。永远)》之铭言：
: : 交差相乘
: : 原式<=> (1+a+a^2+a^3)(1+b+b^2+b^3) <= (1+(ab)^(3/2))(2+a+b+a^2+b^2+a^3+b^3)
: : Let a=c^2, b=d^2 注意1+(ab)^(3/2)=1+(cd)^3 >= (1+(cd)+(cd)^2+(cd)^3)/2
: : 故现证(1+c^2+c^4+c^6)(1+d^2+d^4+d^6) <=
: : c^2+d^2 c^4+d^4 c^6+d^6
: : (1+cd+(cd)^2+(cd)^3)(1+-------+-------+-------)
: : 2 2 2
: : 之後分项解决即可
: : c^2k*d^2k <= (cd)^k*(c^2k+d^2k)/2 (因c^k*d^k <= (c^2k+d^2k)/2)
: : c^2k*d^2m+c^2m*d^2k <= (cd)^k*(c^2m+d^2m)/2 + (cd)^m*(c^2k+d^2k)/2
: 这一步在k=0 or m=0时会怪怪的
mm，好像反过来了
: : 这个证法可以推广到3为任意正整数
: 不知道我有没有搞错, 但是在用1+(cd)^3>=(1+cd+(cd)^2+(cd)^3)/2 时
: 就等於把原题变成
: 1 1 2
: ----------- + ----------- >= --------------------------
: 1+a+a^2+a^3 1+b+b^2+b^3 1+(ab)^(1/2)+ab+(ab)^(3/2)
: 等价於要去证说
: 1
: f(x)=------------------- 是concave up, 但这不可能成立, 因
: 1+e^x+e^(2x)+e^(3x)
f(x)的二阶导数不会恒正吗?
: f(x) is strictly decreasing and
: lim f(x) = 1
: (x-> -infinty)
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总在最平凡的面孔中，
发现最不平凡的人物...
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 140.112.18.71
1F：推 darkseer:若f''(x)恒正且f(x)is trictly decreasing 218.175.181.166 11/07
2F：→ darkseer:则应有f(x)(x -> -infinity)=infinty 矛盾 218.175.181.166 11/07
3F：→ darkseer:不过其实有点麻烦的算一下就可以知道@@ 218.175.181.166 11/07