作者darkseer (公假中)
看板IMO_Taiwan
標題Re: 這一道數論問題
時間Wed Sep 8 20:17:31 2004
※ 引述《chaogold (H.Y. Chao)》之銘言：
: let A, B be positive integers and
: A(p) is the residue of A by modp
: If A(p)>=B(p),for every prime number p ,then A=B.
設條件成立但A>B (顯然A>=B)
首先有A(p)>=B(p) iff [A/p]=[B/p]+[(A-B)/p] for every prime p.
設C=A-B 則有 [A/p]=[B/p]+[C/p] for every prime p.
由於此時B,C已有對稱性, 不失一般性設B>=C
考慮連續整數 {1, 2, ..., C} 和 {B+1, B+2, ..., B+C}
對任意p, 可知上面兩組連續整數中被p整除的數有一樣多個(因[A/p]=[B/p]+[(A-B)/p])
以對每個p的冪次來比較兩組連續整數的積
會發現後者的積除前者的積 <= C(B+C,k) 其中k表示1,..,C中的質數個數
然而後者的積除前者的積 = C(B+C,C)
於是 C(B+C,C) <= C(B+C,k), 但(B+C)/2 >= C > k 矛盾 (其中C(n,m)為組合數)
細節我沒時間打了..不過我檢查了不少遍,應該沒問題
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