作者darkseer (公假中)
看板IMO_Taiwan
标题Re: 这一道数论问题
时间Wed Sep 8 20:17:31 2004
※ 引述《chaogold (H.Y. Chao)》之铭言：
: let A, B be positive integers and
: A(p) is the residue of A by modp
: If A(p)>=B(p),for every prime number p ,then A=B.
设条件成立但A>B (显然A>=B)
首先有A(p)>=B(p) iff [A/p]=[B/p]+[(A-B)/p] for every prime p.
设C=A-B 则有 [A/p]=[B/p]+[C/p] for every prime p.
由於此时B,C已有对称性, 不失一般性设B>=C
考虑连续整数 {1, 2, ..., C} 和 {B+1, B+2, ..., B+C}
对任意p, 可知上面两组连续整数中被p整除的数有一样多个(因[A/p]=[B/p]+[(A-B)/p])
以对每个p的幂次来比较两组连续整数的积
会发现後者的积除前者的积 <= C(B+C,k) 其中k表示1,..,C中的质数个数
然而後者的积除前者的积 = C(B+C,C)
於是 C(B+C,C) <= C(B+C,k), 但(B+C)/2 >= C > k 矛盾 (其中C(n,m)为组合数)
细节我没时间打了..不过我检查了不少遍,应该没问题
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