作者Lanjaja ()
看板Math
標題Re: [代數] 不等式證明
時間Sat Sep 14 12:11:15 2024
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 各位先進好，
: 我想請問一道以前沒有看過的不等式證明。
: 題目是這樣：對於x_i均非負數，i=1~n
: 試證：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n)
: 當n=3時我可以乘開，但是這樣的證明方式有其侷限性。
: 到n≧4的時候我平方後會開始多出許多不是不等式右方的項，接著就處理不下去了。
: 懇請板上強者幫忙提供一下這個不等式的證明。
: 感謝回答～
各位先進，真的很抱歉。
謝謝所有前輩提供的思路，對我來說都很有幫助，學習到不同的切入點。
經過Star大指出反例，這個命題應該是有問題的，
我思慮不周，很抱歉，應該再做一些修正。
我是在一本不等式入門的書看到作者給出n=3的狀況：
(x_1 + x_2 + x_3)/3 ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)/n) ≧ 幾何平均數
這道命題沒有問題，n=4的狀況也是正確的。
但是書中說n=3這條不等式只是關於n個非負數的類似結果的一個特殊情形，
廣義狀況為最左端是算術中項，最右端是幾何中項。
所以按照上下文，我就努力在想中間項的表達式。
光從左邊不等式我猜不出來，只能從右側反推出中間項應該是相鄰循環項。
但是我的猜測現在證實到n=5就卡住了。
一切又似乎回到原點了，我想好久都想不出來><
能否請各位前輩再幫忙想想這中間項的形式是什麼？
感謝各位強者的幫忙！
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1F：→ WINDHEAD : 沒有 我n>4的證明少算了好幾項 是錯的 09/14 12:27
2F：→ WINDHEAD : 那個只適用 n<5. 我另外回在上面 n>5 的時候 09/14 12:28
3F：→ WINDHEAD : 這個不等式不總是對的 09/14 12:28
4F：推 Starvilo : 令x_1=x_2=1,其餘全取0 ,n>=5,皆是反例 09/14 12:41
5F：推 StellaNe : 全相異項乘積除以組合數? 09/14 12:42
6F：推 StellaNe : 或 n-1項乘積和平均開n-1方根? 09/14 12:52
7F：→ mantour : 覺得應該是樓上說的沒錯 09/14 14:38
8F：→ mantour : n-1項乘積的所有組合的平均開n-1方根 09/14 14:39
9F：→ mantour : 這樣右邊等號可以用調和平均的倒數證明 09/14 14:39
10F：→ mantour : 左邊用程式沒有找到反例但是沒想出怎麼證明 09/14 14:40
11F：→ mantour : ** 更正右邊不等式用調和平均的倒數證明 09/14 14:41
12F：推 Vulpix : 兩兩乘積都拿來平均吧。 09/14 15:58
13F：→ mantour : 對厚 兩兩乘積平均 也可以 09/14 16:06
14F：→ mantour : 請教樓上兩兩乘積平均要怎麼證明 09/14 16:11
15F：推 Vulpix : 平方相減會得到樣本變異數。 09/14 17:53
16F：→ Lanjaja : 請問n-1項乘積是哪些？n=3的情況是3項乘積 09/14 23:24
17F：→ Lanjaja : m大可以解釋一下右邊怎麼用調和不等式證明嗎？感謝 09/14 23:39
18F：推 TimcApple : wiki: Maclaurin's inequality 09/15 15:59
19F：→ Lanjaja : Tim大太厲害了，就是這個不等式了，這都能找得出來! 09/15 22:29