作者Lanjaja ()
看板Math
标题Re: [代数] 不等式证明
时间Sat Sep 14 12:11:15 2024
※ 引述《Lanjaja ()》之铭言：
: 各位先进好，
: 我想请问一道以前没有看过的不等式证明。
: 题目是这样：对於x_i均非负数，i=1~n
: 试证：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n)
: 当n=3时我可以乘开，但是这样的证明方式有其局限性。
: 到n≧4的时候我平方後会开始多出许多不是不等式右方的项，接着就处理不下去了。
: 恳请板上强者帮忙提供一下这个不等式的证明。
: 感谢回答～
各位先进，真的很抱歉。
谢谢所有前辈提供的思路，对我来说都很有帮助，学习到不同的切入点。
经过Star大指出反例，这个命题应该是有问题的，
我思虑不周，很抱歉，应该再做一些修正。
我是在一本不等式入门的书看到作者给出n=3的状况：
(x_1 + x_2 + x_3)/3 ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)/n) ≧ 几何平均数
这道命题没有问题，n=4的状况也是正确的。
但是书中说n=3这条不等式只是关於n个非负数的类似结果的一个特殊情形，
广义状况为最左端是算术中项，最右端是几何中项。
所以按照上下文，我就努力在想中间项的表达式。
光从左边不等式我猜不出来，只能从右侧反推出中间项应该是相邻循环项。
但是我的猜测现在证实到n=5就卡住了。
一切又似乎回到原点了，我想好久都想不出来><
能否请各位前辈再帮忙想想这中间项的形式是什麽？
感谢各位强者的帮忙！
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1F：→ WINDHEAD : 没有 我n>4的证明少算了好几项 是错的 09/14 12:27
2F：→ WINDHEAD : 那个只适用 n<5. 我另外回在上面 n>5 的时候 09/14 12:28
3F：→ WINDHEAD : 这个不等式不总是对的 09/14 12:28
4F：推 Starvilo : 令x_1=x_2=1,其余全取0 ,n>=5,皆是反例 09/14 12:41
5F：推 StellaNe : 全相异项乘积除以组合数? 09/14 12:42
6F：推 StellaNe : 或 n-1项乘积和平均开n-1方根? 09/14 12:52
7F：→ mantour : 觉得应该是楼上说的没错 09/14 14:38
8F：→ mantour : n-1项乘积的所有组合的平均开n-1方根 09/14 14:39
9F：→ mantour : 这样右边等号可以用调和平均的倒数证明 09/14 14:39
10F：→ mantour : 左边用程式没有找到反例但是没想出怎麽证明 09/14 14:40
11F：→ mantour : ** 更正右边不等式用调和平均的倒数证明 09/14 14:41
12F：推 Vulpix : 两两乘积都拿来平均吧。 09/14 15:58
13F：→ mantour : 对厚 两两乘积平均 也可以 09/14 16:06
14F：→ mantour : 请教楼上两两乘积平均要怎麽证明 09/14 16:11
15F：推 Vulpix : 平方相减会得到样本变异数。 09/14 17:53
16F：→ Lanjaja : 请问n-1项乘积是哪些？n=3的情况是3项乘积 09/14 23:24
17F：→ Lanjaja : m大可以解释一下右边怎麽用调和不等式证明吗？感谢 09/14 23:39
18F：推 TimcApple : wiki: Maclaurin's inequality 09/15 15:59
19F：→ Lanjaja : Tim大太厉害了，就是这个不等式了，这都能找得出来! 09/15 22:29