http://hk.geocities.com/mathsworld2001/mathematicians/danger.htm#1 第一次数学危机 历史背景 毕达哥拉斯（约公元前572年——公元前492年）是一位古希腊的数学家及哲学家，他曾有 一句名言「凡物皆数」，意思是万物的本原是数，数的规律统治万物。不过要注意的是，在 那个年代，他们相信一切数字皆可以表达为整数或整数之比——分数，简单而言，他们所认 识的只是「有理数」。 有趣的有理数 当时的人只有「有理数」的观念是绝不奇怪的。对於整数，在数线上我们可以知道是一点 点分散的，而且点与点之间的距离是一，那就是说，整数不能完全填满整条数线，但有理数 则不同了，我们发现任何两个有理数之间，必定有另一个有理数存在，例如：1与2之间有1/2 ，1与1/2之间有1/4等，因此令人很容易以为「有理数」可以完全填满整条数线，「有理数 」就是等於一切数，可惜这个想法是错的，因为…… 毕氏定理、毕氏铁拳 伟大的时刻来临了，毕达哥拉斯发现了现时众所周知的毕氏定理（其实中国於公元前一千 一百年已有此定理），从这个定理中，毕达哥拉斯发现了一件不可思议的事，就是腰长为１ 的等腰直角三角形的斜边长度，竟然是一个无法写成为有理数的数。亦即是说有理数并非一 切数，存在有理数以外的数，有理数不可以完全填满整条数线，他们心中的信念完完全全被 破坏了，他们所恃和所自豪的信念完全被粉碎。在当时的数学界来说，是一个极大的震撼， 也是历史上的「第一次数学危机」。 新的一页 原来「第一次数学危机」是「无理数」的发现，不过它还说出了「有理数」的不完备性， 亦即有理数不可以完全填满整条数线，在有理数之间还有「罅隙」，无疑这些都是可被证明 的事实，是不能否定的。面对着事实，数学家展开广阔的胸襟，把「无理数」引入数学的大 家庭，令数学更丰富更完备，加添了无理数，数线终於被填满了。 不过，第二次数学危机又将要来临了！ 第二次数学危机 「飞矢不动」的吊诡 古代的希腊是研究哲学的人聚集的地方，在云云的哲学学派之中，其中一派主张「存在是 静止的，不变的，永恒的，变化与运动只是幻觉。」至於这个主张的理念，不是我们的讨论 范围，不过，这个学派的学者之一——芝诺，为了论证运动是幻象，提出了「飞矢不动」的 「理论」：箭在每一瞬间都要占据一定的空间位置，即箭在每一瞬间存在，即箭在每一瞬间 都是静止的，又怎可能动呢？ 数学——打破吊诡的武器 当然我们完全明白「飞矢不动」是一个歪论，但数学是一个讲究严谨的学科，数学家们要 从问题的核心「动」作为开始，要证明「飞矢必动」。所谓动是指有速率，而速率便是所走 的路程和所用的时间的比，换句话说，要证明箭在每一瞬间都是动即，要证明箭在每一瞬间 都有速率，但这是一个难题，因为如何找出每一瞬间的速率呢？ 无坚不摧——微积分 要解决每一瞬间的速率（以下称瞬时速度）的问题，伟大的数学家和物理学家——牛顿（1 643–1727），发现了一件无坚不摧的武器——微积分，其中微分便正好可以计算出物体的 瞬时速度。这个发现震惊了整个数学界和物理学界，而且除了瞬时速度，微积分更在不同 方面有广泛的应用，并得到了瞬速的发展。不过，好境不常．．． 既不是零又不是非零？ 因为微积分必须要考虑所谓「无穷小量」的问题，所谓「无穷小量」是指一个「非零而又 极接近零的量」，而所谓「极接近零」是指这个量「与零之间不容许有任何空间和距离」， 换句话说，「无穷小量」是一个既不是零又不是非零的量，那麽，「无穷小量」是零吗？如 果解不到这个问题，所谓无坚不摧的微积分，便无立足之地，一切由微积分所得出来的完美 的数学和物理学上的结果也付诸流水，所以数学史上称之为「第二次数学危机」。 化危为机 数学是讲究严谨的学科，数学家必不逃避问题，面对困难，接受挑战，是数学家的不朽格 言。另一位伟大的数学家柯西（1789–1857），重新建立微积分学的基础——数学分析。数 学分析是透过一套严格的「数学语言——ε–语言」来说明甚麽是变量、无穷小和极限等的 概念和定义，解决了甚麽是既不是零又不是非零的问题，而这次的危机亦安然渡过，并为数 学的大家庭增添了一位成员「数学分析」，也提醒了数学家们要继续要求严格，不可松懈。 不过，第三次数学危机将要置数学於死地！ 第三次数学危机 一个有趣的故事 在村有一位手艺高超的理发师，他只给村上一切不给自己刮脸的人刮脸，那麽，他给不给 自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他是个不给自己刮脸的人，他应当给自己刮脸；如果他 给自己刮脸，由於他只给不给自己刮脸的人刮脸，他就不应当给自己刮脸了。他应该如何呢 ？ 数学和哲学界的巨匠——罗素 以上的故事就是着名的「罗素悖论」。罗素（1872–1970）是英国着名的哲学家和数学家 ，曾获得诺贝尔文学奖金。他想把算术系统全归结於逻辑，所以他与怀海德合作写的一本巨 着《数学原理》。 理发师的威力 罗素的悖论确是给当时正为了微积分的严格基础被建立而欢欣鼓舞的数学家们泼了一盆冷 水，但这个理发师的力量有多大，竟然可以推倒数学大厦呢？在较高等的数学里，我们会把 整个数学的基础纳入「集合论」之中，换句话说，集合论便是数学大厦的基石，所以当集合 论中出现矛盾时，建基於此之上的数学大厦也会站不住脚，而罗素的悖论却是向着这个基石 作出致命的一击，这个「自己既要属於自己又同时不属於自己」的矛盾是在集合论中的矛盾 ，也就是在数学基础中的矛盾，只要矛盾一日存在，数学大厦也不可稳固，更会在倒塌的危 机，这个也是数学的第三次危机。 解铃还须系铃人？ 罗素虽然提出了问题，成为危机的制造者，但同时也是危机的解决者，罗素在他的着作之 中提出了层次的理论以解决这个矛盾，使得「自己既要属於自己又同时不属於自己」不可能 出现。不过，这个层次理论十分复杂，所以数学家要把这个方法加以简化，而先提出的人是 策墨罗，他提出了「有限抽象原则」和几条公理，及後再由弗兰克和斯柯伦的补充修改，仍 成现在在数学上较为流行公理系统——「ZFS公理系统」。这样不单只解决了罗素的悖论，令 数学从回到严紧和无矛盾的领域，而且更促使一门新的数学分支——「数学基础」有着迅 速的发展。 数学危机的启示 在这三次的数学危机中，我们可以看到数学的发展跟面对问题和正视困难是离不开的，透 过克服一次又一次的困难而得到「成长」和完善，越是不怕艰辛，收获便越大。第一次数学 危机使人类突破有理数的局限；第二次数学危机从提数学的严紧性和诞生了新的数学分支； 第三次数学危机警醒人除了发展各式各样不同的分支以外，还得回看数学的根基本身，使数 学迈向更完备。然而，成功并非一朝一夕，必须经历无数的挫折和失败，伤心和失望满布成 功的路上，但只要不放弃，成功依然是可以达到的。另一方面是要从危机中的学习，学习如 何应付之余，还要学习如何避免再次陷入危机之中。 --

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