作者kuromu (kuromu)
看板Physics
标题Re: [问题] 高中万有引力质点
时间Sun Mar 31 22:22:16 2024
部分离题
我查壳层定理适用哪些连心力
至少有两种证法
一种是假设作用力大小是r^n
利用 等效点源造成的力=壳层积分後的合力 的式子
算出积分後 讨论可能的n
另一种也是考虑 等效点源造成的力=壳层积分後的合力 的式子
但是作用力的部分只写作F(r)
可以推导出其满足的微分方程 (a为等效点源到受力点的距离)
(a^2/2)F”(a)+aF’(a)-F(a)=0
可另预解为a^m 或设a=e^x代换变数求解
两种方法都可求出满足壳层定理的连心力为Ar^(-2)+Br
但是我不知道该怎麽推出那个微分方程
试着整理积分成a的函数 可是积分上下界都和a有关
用Leibniz integral rule算 会跑出F(a-R),F’(a+R)很多项不知道该怎麽处理
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1F：→ musicbox810: 可以请问一下第二种证法的出处吗?谢谢03/31 23:34
2F：→ kuromu: The cosmological constant in the McCrea-Milne04/01 00:57
3F：→ kuromu: cosmological scheme 04/01 00:58
4F：→ kuromu: 然後我发现那个微分方程和解球座标下Laplace方程04/01 00:59
5F：→ kuromu: 分离变数後r那部分方程,l=1时的一样,有点神奇04/01 01:01
我本来是想把积分完全去掉再找出微分方程
模仿连结里的泰勒展开作法
处理F(a+R)-F(a-R)或F(a+R)+F(a-R)之类的式子
如果完全去掉积分 需要在恒等式微分三次
得到F’”= Ar^(-5)+Br^(-2) 这样求不出F中Br的部分
如果微分两次,且积分中的F(r)用泰勒展开表示再积分
得到F”= Ar^(-4)+Br^(-1)
如果微分一次,且积分中的F(r)用泰勒展开表示再积分
得到F’= Ar^(-3)+B 开始可以得到F中Br的部分
而连结中没有对恒等式微分,直接对F(r)用泰勒展开表示再积分
※ 编辑: kuromu (114.47.97.192 台湾), 04/01/2024 21:40:20
7F：→ kuromu: 如果一定要用泰勒展开,我感觉第二种求法,可能只是把第一 04/01 22:15
8F：→ kuromu: 种讨论r^n到做法化为等价的解微分方程问题 04/01 22:15