作者wohtp (会喵喵叫的大叔)
看板Physics
标题Re: [问题] 离散过程的动力系统分析方法
时间Fri Aug 3 18:23:09 2018
※ 引述《wehavelee (我们有李但你没有)》之铭言：
: 研究中遇到
: 【题目】(题目的文字叙述，如有图片亦可提供图片)
: 有一个有很多粒子的系统，有三个特性，线性位能、正比於速度的阻尼和随机漫步，随
: 机漫步基本上是高斯分布的，系统是一维的，所以每一个step可以表示成
: x_n = x_n-1 + a * p_n-1
: 动量项
: p_n = p_n-1 + b * x_n + c * p_n-1 + d * random(Gaussian_distribution)
: 位能项 阻尼项 随机漫步项
我不会把你这个「位能项」叫做线性位能，甚至不觉得它看起来像位能。
确认一下这项真的不是 b(x_n - x_{n-1}) 吗？
假设你方程式没写错，名词你爱叫什麽我管不着，那麽先忽略掉两个随机杂讯，
就可以写成：
[ x_n ] [ 1 a ] [ x_{n-1} ] ... (*)
[ ] = [ ] [ ]
[ p_n ] [ b (1+ab+c) ] [ p_{n-1} ]
本来那个 p_n 方程式右边的 b x_n 项可以用 x_n 方程式代换掉。
假设你的参数 a, b, c 不是太麻烦的东西，有矩阵却不对角化是对不起你的线代老师。
假设 M 可以拿来对角化这个矩阵：
M [ 1 a ] M^{-1} = [ k1 0 ]
[ ] [ ]
[ b (1+ab+c) ] [ 0 k2 ]
然後设
M [ x_{n} ] = [ s_{n} ]
[ ] [ ]
[ p_{n} ] [ t_{n} ]
现在可以把杂讯加回去了。令 G_{n} 为你的 Gaussian 杂讯，L_{n} 为
non-Gaussian 那个，就是在 (*) 的右边加上
[ G_{n} ]
[ ]
[ L_{n} ]
对角化矩阵的时候就顺手一起把这边一起转换掉：
M [ G_{n} ] = [ m11 G_{n} + m12 L_{n} ] = [ F_{n} ]
[ ] [ ] [ ]
[ L_{n} ] [ m21 G_{n} + m22 L_{n} ] [ J_{n} ]
然後得到两条独立的方程式
s_{n} = k1 s_{n-1} + F_{n}
t_{n} = k2 t_{n-1} + J_{n}
方程式解为
s_N = (k1)^N s_0 + \sum_{n = 1}^{N} [ (k1)^n F_{N-n} ]
t 也一样。
s_N 和 t_N 的统计分布来自後面那 N-1 个随机变数的和。
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1F：→ butyoudont: 谢谢w大非常仔细的回覆，获益良多，a b c在目前阶段都 08/03 23:14
2F：→ butyoudont: 只是常数而已 08/03 23:14
3F：→ tim32142000: 看到位能项我自己脑补成 跟其他粒子的x_n有关 08/03 23:29
4F：→ tim32142000: 不然这样求解析解最明了了 08/03 23:29
5F：→ wohtp: 其实我就看了好久，明明没有交互作用，有解不出来的理由吗 08/04 00:11
6F：推 butyoudont: 好多年没碰线性代数，都忘光了 (汗 多谢 08/18 15:43