作者Vulpix (Sebastian)
看板Physics
标题[问题] 光子的频率？
时间Mon Oct 3 01:54:14 2016
【出处】(习题或问题的出处)
自我质问，但没想清楚的问题。
【题目】(题目的文字叙述，如有图片亦可提供图片)
一颗光子的波函数通常以 exp(ikx-iωt) 来描述。
（此式可满足 Maxwell's eq. in vacuum、"Schroedinger" eq. in vacuum。
至於归一常数不重要，而且我现在的函数必须 normalized by δ。）
如此这道光具有波向量 k、角频率 ω、频率 ω/2π。
其他像波长、动量、能量等常用物理量也全都是唯一值。
但「光子」若以这方式表示，相当於是说这颗光子「一直」都「无所不在」，
这与我们常见的光子「移动」现象相违背。
（至於消失、产生等问题就先放一边，因为方程式本身只考虑光子以外都真空。）
若将光子的波函数改以 ψ(kx-ωt) 来描述，
其中ψ只是一个 compactly supported smooth function。
这个描述法类似我们常用的光子图像：一个传播中的波包。
（很久以前它在遥远的彼方，过了很久以後就移动到另一方了。）
代回 "Schroedinger" eq.，我们会发现这个表示式
并不能符合我们对一些物理量的期待。
虽然仍可得到 ω = ck，但 ω 却不是 Hamiltonian/h_bar 的 eigenvalue。
同样 k 也不是 momentum/h_bar 的 eigenvalue。
而不论我在每一瞬间计算 ΔK 或在每一位置计算 ΔΩ，
（为区隔 x 的 dual vector 与 k，将前者记为 K。Ω 则是 t 的 dual number。）
都会得到一个不小的值。（因 ψ 的非零域(支持、support)应该相当小。）
这说明无法将该光子理解成「波向量恰为 k、角频率恰为 ω」。
用这图像来想像光子的话还有其他衍生的波长、频率、能量、动量等都会是无定义的。
而且这个观点最奇特的地方就是 ψ 似乎写成什麽样子都可以。
也就是光子的波函数长相可以非常随性。
或许这是让光子的描述带有某种弹性的方法？
【瓶颈】
上述问题的矛盾点就是我的瓶颈了。
其实对於光子的问题还有很多……
不过主要都是围绕这个矛盾而产生的。
光子概念的建立植根於能量 E = hν，但以上述问题的思考流程来看待的话，
会得到「这颗光子必须无所不在所以光子超级大颗」的荒谬结论。
（本来已经囫囵过去了，可是因为想知道光子的大小就又开始想这种问题了。
网路上也有许多 size of a photon 的文章，但最後都没有给出结论，
又或者说结论就是没有结论……）
先谢谢各位大大了。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1475430857.A.581.html
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58), 10/03/2016 01:55:16
1F：推 kermomo: 无穷远处的光子能量密度无穷小，所以虽然积分到无穷远处 10/03 11:32
"a single free photon" 无穷远处光子能量密度跟近处的能量密度没有不同啊……
（把光子换成其他粒子就是量力第一个例题：a single free particle。）
2F：→ kermomo: ，仍能得出有限能量值？ 10/03 11:32
3F：推 kermomo: 我的理解是光子确实在空间中任何一点都有一个出现的机率 10/03 11:35
4F：→ kermomo: ，但是在大部分的地方这个机率都趋近，我觉得光子的密度 10/03 11:35
5F：→ kermomo: 分布无所不在没什麽问题，毕竟你又没有限定边界条件 10/03 11:35
无所不在不是问题没错，但文中用引号是希望把「每个地方机率都相同」强调出来。
而且是「每一瞬间出现在每个地方的机率都相同」，
也就是说可以现在在这里，等一下就跑了1光年那麽远的距离。
6F：推 ren1072: 这样子写是动量的eigenstate，真的要看到光子要有 10/03 12:03
7F：→ ren1072: 交互作用。 10/03 12:03
我的问题比较像是：一颗光子真的具有「一定能量」吗？
要有一定的能量就只好是能量、动量、频率、角频率、波长、波向量的 eigenstate。
那如果光子不必具有一定能量，光子又会是什麽？
（光电效应就是得用电磁波能量已然量子化来解释，
但能量量子不具有特定能量的话……）
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58), 10/03/2016 18:08:53
8F：→ wohtp: 你说的全部都对啊 10/03 18:10
9F：→ wohtp: 如果你要求光子的波函数必须localized，你就不可能有唯一的 10/03 18:11
10F：→ wohtp: 频率和波长 10/03 18:11
11F：→ wohtp: 这个其实根本不需要量子化，古典电磁学也一样 10/03 18:13
12F：→ wohtp: 可以开关有限大小的光束，其波长和频率就已经不是定值了 10/03 18:14
13F：→ wohtp: 你最後补充的问题，让我来反问你：一颗有质量的粒子必须具 10/03 18:17
14F：→ wohtp: 有一定的动量吗？ 10/03 18:17
15F：→ wohtp: 量子力学里面没这回事。猫可以半生半死，电子可以一半往左 10/03 18:18
16F：→ wohtp: 一半往右。 10/03 18:18
17F：→ wohtp: 那光为什麽不可以一半是红外一半是紫外？ 10/03 18:18
18F：→ wohtp: 其实有没有质量根本不重要，粒子就是粒子，最一般的量子态 10/03 18:23
19F：→ wohtp: 都是各种杂七杂八的叠加起来。 10/03 18:24
20F：→ wohtp: 但是我想你也知道，量子叠加跟古典叠加有差别。 10/03 18:25
21F：→ wohtp: 所谓「半颗红半颗蓝」的光子，被吃掉的时候一半的机率是红 10/03 18:26
22F：→ wohtp: 的，另一半的机率是蓝的，总之不会出现黄光的能量。 10/03 18:27
23F：→ wohtp: 所以光电效应还是活跳跳的没出问题啊 10/03 18:29
24F：推 p112233: 为什麽是用Schrödinger而不是Klein-Gordon阿 10/03 18:42
25F：→ p112233: Schrödinger机率波的概念可以直接套在古典电磁波吗 10/03 18:42
26F：→ p112233: 可以直接套应该连QED都不需要了吧 10/03 18:45
27F：→ wohtp: 楼上：大致上可以 10/03 18:45
28F：→ wohtp: 反过来说，古典电磁波可以看成coherence state，场的强度平 10/03 18:47
29F：→ wohtp: 方可以直接视为occupation number 10/03 18:47
30F：→ wohtp: QED一开始的困难点不是电磁学的部分，而是怎麽把电磁场跟电 10/03 18:49
31F：→ wohtp: 子挂在一起 10/03 18:49
32F：→ Vulpix: 嗯，一直觉得「单色光」听起来很刺耳XD可是又觉得雷射真的 10/03 19:12
33F：→ Vulpix: 还满「单色」的，结果想来想去发现还是跟这个问题等价。 10/03 19:12
34F：→ p112233: coherence state和wave function还是有差吧，还是说有办 10/03 19:49
35F：→ p112233: 法用|x>来描述photon的quantum state我不知道 10/03 19:50
36F：推 youzi1114: 雷射很不单色喔，不要搞错 10/04 00:05
37F：→ wohtp: 为什麽不能用|x>来描述？ 10/04 09:53
38F：→ wohtp: 不考虑带电粒子，纯电磁场只不过是non-interacting free 10/04 09:54
39F：→ wohtp: field，怎麽恶搞都不会弄坏 10/04 09:54
40F：→ wohtp: 所以我可以先gauge-fix，把问题变回E和B，再对每个plane 10/04 09:56
41F：→ wohtp: wave mode量子化就好 10/04 09:56
42F：→ wohtp: 这样拿到k-space的eigenstates。想要real space就把它再 10/04 09:57
43F：→ wohtp: Fourier回去啊。 10/04 09:57
44F：→ wohtp: ...等等，其实我扯那麽多做什麽。 10/04 10:25
45F：→ wohtp: propagator就是wavefunction，结案。 10/04 10:25
所以结论就是光子应该跳脱能量量子的概念，
我们必须承认其实单一光子并不具有特定频率、能量、波长等物理量。
电子在能阶之间跃迁时，吸收的光能有一个能带宽度，
放出的光也不会是相同频率。（毕竟连频率二字都不能说出口了。）
因为事出在傅立叶转换上，所以还是 Uncertainty Principle 的问题。
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58), 10/05/2016 14:36:10
46F：→ wohtp: 不全是这麽说的。单一电子有没有动能、动量、位置等物理量？ 10/05 16:26
47F：→ wohtp: *不全是 10/05 16:26
我认为我们平常见到的电子都是没有这些物理量的。
但是因为uncertainty很小，所以状态的非零分量都集中在某些eigenvalue附近，
以至於我们「觉得」有特定的量值。
当然我觉得自己用「所以还是 Uncertainty Principle 的问题」有些sloppy，
但是实在找不到更合理的解释……
※ 编辑: Vulpix (61.230.120.192), 10/29/2016 12:37:56