作者phs (世故人情情难还...)
标题Re: [问题] 热统计物理
时间Tue Sep 27 16:28:37 2016
原文恕删:
1. 系统状态方程式 P = k_B*T/(v-b) - a/v^2
其中a与分子之间作用力有关, 由状态方程式可看出当a增加时,
分子活动的体积内周围器壁压力P减小,故分子之间为吸引力.
2. 全微分 ds = (@s/@u)du + (@s/@v)dv , 其中@表示偏微分符号
可得关系式 @(@s/@u)/@v = @(@s/@v)/@u
而 ds = (1/T)du + (P/T)dv
=> @(1/T)/@v = @(P/T)/@u ------------- (1)
由状态方程式可得到 P/T = k_B/(v-b) - (a/v^2)(1/T)
=> @(P/T)/@u = -(a/v^2)@(1/T)/@u
利用(1)式, 得到 @(1/T)/@v = -(a/v^2)@(1/T)/@u
=> -(v^2)@(1/T)/@v = @(1/T)/@(u/a) , (利用 @(1/v)/@v = -1/v^2)
=> @(1/T)/@(1/v) = @(1/T)/@(u/a)
3. k_B*T为能量单位, u为内能亦为能量单位, 而由原状态方程式可知a/v为能量单位
因此可假设 c1*k_B*T = c2*u + c3*a/v , 其中c1,c2,c3为常数
得到 1/T = c1*k_B/(c2*u + c3*a/v)
=> @(1/T)/@(1/v) = -[c1*k_B/(c2*u + c3*a/v)^2]*ac3
& @(1/T)/@u = -[c1*k_B/(c2*u + c3*1/v)^2]*c2
由2结果可得 c3 = c2
故 1/T = ck_B/(u + a/v) , 其中 c=c1/c2
代入状态方程式得 P/T = k_B/(v-b)-(a/v^2)(1/T)
= k_B/(v-b)-(a/v^2)ck_B/(u + a/v)
= k_B/(v-b)-ack_B/(uv^2 + av)
4. 由 ds =(1/T)du + (P/T)dv
= [ck_B/(u + a/v)]du + [k_B/(v-b)-ack_B/(uv^2 + av)]dv ------- (*)
=> @s/@u = [ck_B/(u + a/v)] (v固定), 积分得到
s = s_0 + ck_B*ln(u + a/v) + s(v)
(因为s=s(u,v),在做偏微分@s/@u时,v被视为常数,所以s的结果需补上s(v)这一项)
接着s再对v做偏微分得 @s/@v = ck_B*[1/(u + a/v)]*[-a/v^2] + @s(v)/@v
= -ack_B/(uv^2 + av) +@s(v)/@v ------- (**)
由(*)式知, @s/@v = k_B/(v-b) - ack_B/(uv^2 + av) , 与(**)式比较可得到
@s(v)/@v = k_B/(v-b) => 积分得 s(v) = k_B*ln(v-b)
(积分常数忽略,因为已吸收至s_0)
最後得到 s = s_0 + ck_B*ln(u + a/v) + k_B*ln(v-b)
= s_0 + k_B*ln(v-b)(u + a/v)^c
由定义 s= S/N
得到entropy S = Nk_B*ln(v-b)(u + a/v)^c + Ns_0
--
--
※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 118.165.154.144
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Physics/M.1474964921.A.D02.html
※ 编辑: phs (118.165.154.144), 09/27/2016 16:33:49
※ 编辑: phs (118.165.154.144), 09/27/2016 17:18:26
※ 编辑: phs (118.165.154.144), 09/27/2016 19:22:32
※ 编辑: phs (36.227.37.177), 09/28/2016 11:54:09
※ 编辑: phs (36.227.37.177), 09/28/2016 13:31:36