※ 引述《BabyFeeling (嗡 班杂萨埵 吽)》之铭言： : [领域] : 力学能守恒 : [来源] 网路 : [题目] : 将总长度 L，有质量，不伸长之绳置於水平光滑桌面上。以手按住，使长度 L∕3 的一段 : 下垂，如右图。松手使绳滑下，则绳完全通过桌缘的瞬间，其速率为何？ : [瓶颈] : 我知道可以用力学绳守恒来做， : 但，如果用力学和运动学来做呢？想用微积分来算但不会做。 : 假设每单位长度绳质量为u=m/L : 露在外面的绳子长度为k，所受的重力F=kug : F=kug=ma : (dk/dt)=v : (dv/dt)=a : S代表积分符号的话， : ug*S(vdt)=m(dv/dt) : 接下来不会做了。 无聊算算 用 k 表示露出桌面，垂下的部分绳子长度 v=k' a=k" F=kug=Lua=Luk" => k"-(g/L)k = 0 (2nd ODE) _____ Let √(g/L) = α => k = c1*e^(α*t) + c2*e^(-α*t) => v = c1α*e^(α*t) - c2α*e^(-α*t) Let k(t=0) = L/3，v(t=0) = 0，k(t=T) = L，v(t=T) = V => c1 + c2 = L/3 --- (1) c1α- c2α = 0 --- (2) => c1 = L/6 , c2 = L/6 由 (L/6)*e^(α*T) + (L/6)*e^(-α*T) = L 得 e^(α*T) = 3±√8 V = (L/6)α(3+√8) - (L/6)α(3-√8) ____ = (1/3)√8gL --

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