※ 引述《wi827 (我真的没有哭　)》之铭言： : 如题~~请问曲率(k)=1/p(曲率半径)的推导 : 二维的可以用几何推出来~~ : 但是三维要用向量推~~就不太会了~~ : 请问有高手会麽~~麻烦了~感谢 看你怎麽定义曲率半径 如同版友推文所说的，最简单的方式就是用ρ=1/k当作ρ的定义 但是这样定义的ρ是否有直观上的几何意义呢？还是值得讨论一下 设一曲线的参数式为 → → R = R(t) → → → (dR/dt) → (dT / dt) 则其切向量为 T = ---------- , kN = ------------- | → | | → | |dR/dt| | dR/dt | 为了方便起见，我们令s为从曲线上某一点量起的长度 → s = ∫|dR/dt| dt 然後用s当作R的参数 → → 则 T = dR/ds → → → kN = dT/ds = d^2R / ds^2 如果把曲线的参数式R(s) 在某一点s_0做展开 → → → → R(s_0 + Δs) = R(s_0) + (dR/ds)_0 Δs + 1/2 (d^2R/ds^2)_0 Δs^2 + o(Δs^2) → → → = R_0 + T_0 Δs + k/2 N_0 Δs^2 + o(Δs^2) → → → → = R_0 + 1/k N_0 + 1/k T_0 kΔs - 1/k N_0 (1-1/2(kΔs)^2) + o(Δs^2) → → → → = R_0 + 1/k N_0 + 1/k T_0 sin(kΔs) - 1/k N_0 cos(Δk) + o(Δs^2) → → → → = R_0 + ρN_0 + ρ[ T_0 sin(kΔs) - N_0 cos(kΔs)] + o(Δs^2) 从最後一行即可看出 → → 在第二级近似下， s_0 这一点附近的曲线近似为圆心在R_0 + ρN_0 半径为 ρ 的圆弧 因此这样定义出来的ρ是符合曲率半径的几何意义的 如果要从几何意义出发，导出ρ = 1/k 的话，大致上只要照着上面反过来推就可以了 而且事实上反过来推反而是比较容易的 --

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