※ 引述《federal (federal)》之铭言： : ※ 引述《skyrmion (meron)》之铭言： : : 关於白色光频谱的问题，很多版友都回了，我想讨论的是最後一个问题。 : : 这个问题不像表面上看那麽单纯... : : 首先，先前版友回文也提过，重点是在於 T=0K 如何定义跟实现。 : 有趣的问题 : 困扰了我好久说 : 一般来说 : 统计把温度当参量 : (应该没记错..我热力统计没学好) : 所以问题变成 : exp(-Ei/kT)为什麽对应到每个能阶的机率? : Of course, 你可以说它是来自 Lagrange multiply : 但是这仍然是有缺陷的说法(from ensemble) : 当然还有其他一大堆说法 : 所以就先不管它 : : 温度的概念是热力学上的，所以必须是巨观体系，T的定义才有意义。 : 问题是 : 要多少粒子才叫具巨观 : 一般的书都会提(像kittle) : 粒子很多就可以用统计 : 但要多少才叫多? : 其实是同样类似问题就是古典和量子的分界是在哪? : : : 单纯降温第一个影响的是 phonon : 可是 phonon 在低温时 Cv~T^3 : 死的比electron Cv~T 还快(应该没记错) : 当然 真实情形比值不会那麽理想 可是定性看大概是这样 : 重要的是 : 使电子降温之交互作用是什麽? : 那个 heat bath 是什麽? : electron-photon是一个选择 : 而在这里有所谓的heat bath吗 : 当然了 : 真实情形应该是对整个原子降温 To federal， 这里的讨论是理想化的情形，我想说的是如何对一个"单一" 电子定义温度，heat bath 是理论上的一个理想环境，透过他与单一电子 的交互作用来帮助其达到平衡。(嗯，很多统计或热力的教科书都有说到这东西阿) : : OK,现在已经定义好单一电子的温度了，那在 T=0K 时，电子是否一定在基态呢? : : 就古典电子而言(虽然没有这种东西)，答案是正确的。也就是电子的 (x,p) : : 满足 p=0, U(x) = minimum。为甚麽呢? 有限温度时，系统是处在自由能 : : F = E - T*S 最低的点。当 T=0，F = E = p^2/2m + U (似乎显然不过，也没错:) : : 对量子电子而言也是正确的，也就是量子数 n=0 的态。因为在任何一个 : : U(x) 的极小点附近，我们都可以把它近似为一个简谐振子 k*x^2。 : : 其频谱为 E(n) = (n+1/2)*h*w。 : 这就是所谓的phonon : 不是真的 free electron : 也不是electron in atom(否则会有所谓的spontaneous emission of photon) 这里你一定要说 (n+1/2)hw 是 phonon，并没有任何根据， 把一个电子放在 U=kx^2 的位能场里面，请问他的 eigenstate 是甚麽 ? 你用一个 Magnetic trap 去 confine cold atom，这个 atom 可以是 fermion 也可以是 boson。它们的频谱都是上述的简谐振子的频谱。 : : 不过比较特别的是，n=0 时，该电子的能量不是 0，而是 hw/2。 : : 也就是所谓的零点能。这个结果跟测不准原理有关。对古典电子而言， : : x=x^2=0。但是对量子电子而言，虽然 <x>=<p>=0，但是 <x^2>≠0, <p^2>≠0。 : : (eg.可参考 J.J.Sakurai,Modern Quantum Mechanics)。 : : 也就是电子虽在基态，但是它不是真正静止的，而是有量子扰动的 : : (quantum fluctuation)。这也是零点能的来源。 : quantum fluctuation 应该是 : 你对ground state不了解 (因为你根本没法知道确切 ground state) : 最後你发觉你算出来的某些结果 : 会因为你乱猜一个 ground state 而有错误结论 : 所以不用零温 : 就会有quantum fluctuation : For example : 像你算反铁磁 2D Heisenberg model 的 excitation(spin wave or magnon) : 你猜了 ground state 是 Neel state : 可是当你最後算 magnetiation 会爆掉. : 如果你一开始就知道确切的 state : 当然就不会有 quantum fluctuation 发生 to federal, 这你就真的错了，首先 T=0 的 2D Heisenberg moel (AF)， 在 square lattice 上呢，Neel state 真的是 ground state。 这已经被证明了，它的 M 值也确实比 S 小，原因就是 quantum fluctuation。 小多少呢 ? 我想你应该知道怎麽算，我也不多说了。 但是，我想指出的是 M<S (S就是 saturation 的 M)，就是因为每个 magnon 的 effective number = 1/2，然後他携带一定程度的 m。 最後的 M = S － (被这些 n=1/2 的 magnons 带着的 m)。 你不能误导其他版友，quantum fluctuation 是跟"数学"或"哪个理论"无关的。 当温度够低时，thermal fluctuation 开始减弱，quantum 的扰动就会越来越显着。 Quantum fluctuation 的物理基础是测不准原理，绝对不是甚麽数学的想像。 Neel state 在某些 2D 晶格上倒是真的不是基态，像是 triangular lattice， 其基态似乎就是 Phil Anderson 讲的 RVB (Resonant Valence Bond)。 一般的看法反倒是，Neel State 在这些晶格上不是稳态的原因， 就是被 Quantum fluctuation 给摧毁的。 另外，上述讨论是真的都是 T=0 的基态，因为基於 Mermin-Wagner 定理， 小於 3维 的系统，不会有 spontaneous 'continuous' symmetry breaking， 所以 Neel state 甚至在有限温度时，也不稳定，原因就是 thermal fluctuation 太大。(但 Ising order 是 break 掉离散的 Z2 symmetry，所以是允许的)。 更有趣的一点是，在所谓的 frustrated antiferromagnet 中， 因为 exchange interaction 无法同时被满足，所以该系统有很多个 classical ground state (都是Neel state)，出名的这类晶体包括 2D 的 Kagome 以及 3D 的 pyrochlore lattice。 这时候 quantum fluctuation 甚至可以帮你找到哪一个 Neel state 会是基态，(at least in the large-S sense)，怎麽找呢 ? 因为 magnon 的频谱是跟你在哪个 Neel state 下去展开有关， 所以你可以计算不同 Neel state 的 magnon 的总零点能: Σ hω/2， 最小的那个，(很多时後不只一个)就是 ground state。 最後，我想指出，现在也很红的 Quantum Phase Transistion (QCP)， 就是发生在 T=0K, 由 quantum fluctuation 所导致的相变， (跟有限温度下，由 thermal fluctuation导致的相变类似)。 : : OK,最後，就像 pipidog 说的，加上相互作用後，那问题就真的完全不一样了。 : : 电子的基态可以是"超导"，也就是有一个 cooper pair 的 condensate 形成。 : not exact : 那不是electron ground state 也就不是真的electron ''vacuum'' : 那是 bogoliubov excitation 结果 : 正确说是 cooper pair基态 to federal: 你太过拘泥数学了吧，我当然知道那是 Bogoliubov particle 的 vacuum。但甚麽是 Bolgoliubov particle 呢 ? 是电子跟电洞的一个线性组合， 所以我才说这个 ground state 很有趣，不同於 boson 的基态(所有的粒子都在 n=0)， 也不同於简并电子气体或 Fermi liquid，超导的基态是由你说的 Bolgoliubov vacuum 所定义，也就是 γ|Ω> = 0. (γ就是B-particle的消灭算符)， 但是因为γ是电子电洞 operator 的线性组合，所以这样定义出来的基态|Ω> 就特别有趣，因为在这个基态里，电子以一定的 pattern coherently 绕着其他电子运动(just a picture)。而某个角度讲，你也可以说这个基态 有一个 cooper pair 的 condensate。最简单的原因是下列算子的基态平均 不为零: <c*c>≠0 (c是电子的消灭算符。) 另外你说是 cooper pair 基态，也没错，因为 cooper pair 是 qausi-boson， 它是可以 condensate 的。但重点是在这个 condensate 里的电子们运动的图像。 才是我想要强调的地方。 : : 也可以是量子霍尔流体 (Laughlin state)，其基本激发元甚至是带1/3基本电荷的。 : 这应该也没说电子是不是在基态吧 : 不确定 没详细念过这类 不过直接猜不是 对的机率比较大 : 这是2D 平面中 effective 1D edge excitation造成 : 当然有人(ex.张守晟)会跟你说是 : 一个电子带一个spin 1/2 magnet flux造成 Laughlin state 跟 numerical exact diagonalization 的重叠接近 99.9%，Robert Laughlin 也因此拿了诺贝尔奖， 这个 Ground state,跟超导类似， 电子也是以一定的 pattern 互相避开对方。 另外，composite electron 不是携带 spin-1/2 的 flux.... 是 每个电子携带 3 的基本 flux quanta。 : : 甚至不考虑这些特别的系统。单纯的费米流体基态，也是很复杂的。 : Fermi liquid 是 superconductor 基础 所以... : 就我的理解 : 一般有interaction : 几乎就不会有纯电子的基态 : 虽然我只知道少少的几个系统(凝态系统太多了) : 不过这应该是 universality 特性 : 正也因为这样 : condensed matter 才会有趣 : 大概只有 non-interaction electron system : 也就是 Fermi gas : 才有电子的 true ground state 好吧，那我也简单解释一下 Fermi liquid 好了，其实这个倒是一个 凝聚态里挺 universal 的现象。以致於现在凝聚态的人老是想要做出 东西是 beyond fermi liquid paradigm。 我不太懂你所谓纯电子基态是甚麽意思，但是 Fermi liquid 的基态， 电子倒是不完全都在 Fermi surface 下没错。有些电子是因为交互作用 跑到费米面外了。但也不是 random 的跑到外面去(不过也没有超导 子霍尔流体那麽 coherent 就是)。Fermi liquid 的基态可以说是 Landau 的 quasi-particle 通通填到对应的 Fermi surface 的一个态。 至於甚麽是 Landau 的 quasi-particle 呢 ? 大约如下:(对某个动量 k) |q-particle> = Z |e-particle > + (a bunch of e-h pairs). 後者是所谓的 incoherent part。前者是 coherent 的 "single particle" contribution。只要 Z≠0，Fermi liquid 的描述就还是正确的， Z=0，对应到这个理论的 break down。 : : 而量子电动力学中的 Dirac 电子基态，也是一样复杂，有兴趣的版友 : : 可以解说一下:) : 扯到有点远了 : 拉回原来问题 : 其实只要在 T=0 : 什麽东西都在基态 : 至少在多体系统是这样. T=0 时，系统一定是在基态! 但这里要讨论的是， 这些系统基态里的电子分布是如何 ? 我个人觉得是挺有趣的， 起码跟简单的 free boson比起来 (所有的 boson 都跑到n=0)。 对费米系统而言就不一定是这样了。 --

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