昨天我有尝试纯粹从座标处理(只看数字1和0)， 刚刚看到有人贴AI的解法，似乎有点雷同， 但是我的作法还是多了一些论证，不是纯土法炼钢硬列举 依照正方体空间的点分布，由低到高分别为： 第一层(100)：只有1个1的点集合，共3点 第二层(110)：只有2个1的点集合，共3点 第三层(111)：有3个1的点集合，共1点 高层点与低层点内积 <= 低层点1的个数 => 本题计算出的内积值 <= 2 每层挑2相异点作内积 < 该层点1的个数 由上面两条自然限制，可以对本题内积值作进一步分类 (1)内积值 = 2： (111)配(110)：3种，状况已用完 (2)内积值 = 1： (111)配(100)：3种 (110)配(110)：3种 (110)配(100)：6种 期望值 = [2*3 + 1(3 + 3 + 6)]/C(7,2) = 18/21 = 6/7 思考逻辑对了，其实剩下来就加法问题 高中排列组合有一大块是教高中生怎样有系统的分类和计数 有系统表示有逻辑、不容易错， 列举也有分无脑列举和有想法分类列举。 就算是无脑列举，也不是每个人真的都有办法万无一失全部列举得出来 有些没那麽特殊对称的情况下还是得用上列举， 所以不必一味排斥。 像这题直接从空间几何看可以很简单判断最多有哪些内积需要计算， 我是比较偏向从空间下手。 另外，你一值强调P和C，对本题最终结果只差在分子分母约分2!， 你用P增加复本，都除以2!，就会和C一样，因为本题不允许相同向量对自己内积 固然用P计算好像能帮你避免掉一些前置的分类列举， 但你还是要扣掉一些状况不是吗？ 尊重你的作法， 不过根据题意，样本空间C(7,2)还是一般人比较直接的想法 ※ 引述《yueayase (scrya)》之铭言： : ※ 引述《solumate (尼特学研究者)》之铭言： : : https://i.mopix.cc/ij7hzM.jpg : : 看到有人在解这一题， : : 强调思路是靠自己想出来的， : : 只是叫chatgpt帮自己写解题过程。 : : https://i.mopix.cc/xTCpxE.jpg : : 我看了真的笑死， : : 连基本计算过程错误都没发现， : : 摆明了就是看不懂， : : 在那边不懂装懂。 : : 而且错误计算却得到正确答案， : : 更印证了这个猜测， : : 根本从头到尾都靠chatgpt， : : 然後自己一知半解， : : 才会闹出这个大笑话。 : : 甚至他提出的解法思路， : : 也非常的chatgpt， : : 一点数学美感都没有。 : : 明明把内积和拆成XYZ轴， : : 就只要考虑1或0， : : 可以很漂亮的把题目解掉， : : 偏偏要去考虑内积0,1,2三种可能， : : 结果变成暴力拆解。 : : https://i.mopix.cc/OBvtJ0.jpg : : 设O为（0,0,0） : : 考量X轴情况： : : PQ两点共有C7取2种可能， : : 但只有红色C4取2的情况， : : X轴内积和才为1， : : 其余皆为0 : : 所以X轴期望值为： : : 1*［C4取2] [C7取2］ : : =2/7 : : 而立方体是三轴对称， : : 所以答案就是 : : 2/7+2/7+2/7=6/7 : : 这样解， : : 明明就乾净俐落很多。 : : 只能说数学无捷径， : : 还是不要过度依赖chatgpt啊。 : https://chatgpt.com/share/695b957c-ffe8-8008-97fb-d5a6cc3ba798 : 感谢你帮我抓出GPT把计算过程写错了 : 好喔，你认为我靠GPT解题作秀， : 我就附上我叫GPT润饰的完整过程 : 以及讲解给你听: : 基本上这题，如果对正立方体座标化 : 很容易可以看出，内积的值决定在P和Q x,y,z分量皆为1的个数 : 如此一来，我可以这样分析 : (1) 恰1个分量都为1 : 共有C(3,1) * (P(4,2) - C(2,1) *2) = 3 * (12 - 2*2) = 3 * 8 = 24 : 第1个C(3,1)是x,y,z取一个分量 : 接着把剩下2个分量，视为binary string: 00, 01, 10, 11 : 因为P、Q相异，所以我们可以把这4个取出2的相异的(用排列) : 然後要避开有其中1位同时为1的，这可以从剩下2分量，取1个分量， : 然後最後一个分量可以有 第一个为0，另一个为1，或第一个为1，另一个为0，共2种 : 举例: x分量都为1 : P Q (y,z)可以从(0,0) (0,1) (1,0) (1,1)：选2个不同的当作P Q的剩下2个分量 : 像是: : P(1, 0, 0) : Q(1, 0, 1) : 但这要排除像是这样: : P(1, 1, 0) : Q(1, 1, 1) : 因为这组会让内积为2 : 但这样算就等同把 : P(1, 0, 0) Q(1, 0, 1) : 和 : P(1, 0, 1) Q(1, 0, 0) : 视为不同的 : 如此一来，样本空间不应是C(7,2)，而应该是P(7,2) : (2) 内积为2 : 这反而比Case (1)单纯，只需要这样算: C(3,2) * 2 = 3 * 2 = 6 : 理由: : 从x,y,z选2个分量，指定他们为1，放进P、Q对应位置 : 因为希望P、Q相异，所以一样0和1的指定有2种选择 : 例如: : (1, 1, 0) => P : (1, 1, 1) => Q : (1, 1, 1) => P : (1, 1, 0) => Q : (3) 内积为3 => 必须要P、Q都是(1,1,1)，但题目要求取出相异两点，所以不可能 : 所以期望值就是: : 24/P(7,2) * 1 + 6/P(7,2) * 2 : = 24/42 * 1 + 6/42 * 2 : = 4/7 * 1 + 1/7 *2 : = 4/7 + 2/7 : = 6/7 : 答案无误 : 这也给我们一个教训: : 不要相信AI的算术能力 : AI的算术往往会有奇怪的地方 : 还有就是: : 的确啦，我这种解法还不够漂亮 : 的确不是最佳解 : 但这应该已经是比较能够平民化， : 靠着做一般参考书基本题，想到的快速解法了 : 很多老师教排列组合和机率的时候 : 往往讲不清楚: 为什麽这时候样本空间要用排列? 为什麽这时要用组合? 为什麽都可以? : 这题就是最好的示范: : 如果你没像最佳解那种想法，使用C(7,2)当样本空间， : 就会像很多市面上的解答，和网路解题老师的答案 : 要把情况分的很多，少考虑一种就GG了~~~ : 如果因为计算错误就认为这个想法错... : 其实这也透露出读者的理解力在哪... : 说真的，我承认我的文字表达能力不好， : 所以会用GPT修饰我的文字，希望能简短好懂一点 : 我那时只检查他有没有把我的语意和逻辑弄错 : 没有细看GPT算术有没有写错是我的疏失 : 但这解法基本上方向和手段都正确无误，且不复杂 : 如果有人没办法理解，记得去复习高中排列组合和机率吧 : 因为我的过程都是基础题用到的 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 36.224.148.156 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1768116589.A.1B6.html ※ 编辑: Honor1984 (36.224.148.156 台湾), 01/11/2026 15:38:19