作者ginstein (迈向学术之路)
看板Math
标题[其他] 箱中球悖论（上）
时间Fri Mar 14 20:00:11 2025
Blog：
https://dreamchen-2025-github-io.pages.dev/
导读：
本文分（上）、（中）、（下）三篇，这个悖论是浅显易懂的，但想要厘清对错就很伤脑
筋，读者也可以让 AI 代替你，体会烧脑的痛快！大约理工科低年级大学生的程度，就可
以更清楚理解感受这个悖论的烧脑之处。
附带说明，为了多数读者思考的乐趣，（中）篇才介绍和本文相关的知名悖论。不过笔者
最早构思时，是过去教学时为了介绍现代数学基础思想的本质，刺激同学思考，也隐含未
来可能发展的方向，有兴趣的读者到时可参考（下）篇内容。
箱中球问题（原型）：
有一个空箱，甲乙两人轮流向箱子放球、取球，每轮甲先放进两颗球，接着乙取出一颗球
。第一轮耗时 1 分钟，之後每轮用时减半，总耗时是无穷等比级数，经过无穷多轮，全
部过程在两分钟时停止，之後箱中球数不再变化。请问「最终箱子里会有多少球」？
进阶问题（一）：箱中球问题中，以下丙认为最终箱子里「有无穷多颗球」。丁、戊可以
证明最终「没有球」，请问谁对谁错？然後重要的事说三遍！错在哪里？错在哪里？错在
哪里？
想法一（丙，大众代表）：
既然每轮甲放进两颗球，乙取出一颗球，每轮箱子多一颗球，经过无穷多轮，当然箱子里
「最终有无穷多颗球」。
想法二（丁，数系公理专家）：
丁假设放球取球规则如下：第 N 轮时，甲先放进 2N-1, 2N 号球，接着乙取出 N 号球。
具体来说，第一轮甲放进 1, 2 号球，接着乙取出 1 号球。第二轮甲放进 3, 4 号球，
接着乙取出 2 号球。第三轮甲放进 5, 6 号球，接着乙取出 3 号球，依此类推。
丁说因为第一轮取出 1 号球，第二轮取出 2 号球，第 N 轮取出 N 号球，依此类推。两
分钟到後，经过无穷多轮，由皮亚诺公理可知，取出所有自然数的球号，因此箱子里「最
终没有球」。
皮亚诺公理:
https://zh.wikipedia.org/zh-tw/皮亚诺公理
想法三（戊，数学分析学家）：
戊的放球取球规则同丁，设 B 是最终箱中球的编号集合。论证如下：
1. 如果 B 是空集合，代表箱子里没有球，结论成立。
2. 如果 B 非空，由自然数良序原理，存在最小自然数 k 属於B。意即 k 号球最终在箱
子里，箱中球编号最小为 k。
3. 但第 k 轮会取出 k 号球，因此 k 不属於 B，和第 2 点矛盾！由反证法得到 B 是
空集合。
因此可以得到结论，箱子里「最终没有球」。
Well-ordering_principle:
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_principle
良序原理(百度):
https://baike.baidu.com/item/良序原理/4049622
请问各位手握 AI 神器的读者，以上想法谁对谁错？错在哪里？错在哪里？错在哪里？如
果读者觉得很伤脑筋，也可以让 AI 代替你，体会烧脑的痛快！
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At the end, it never ends.
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 219.69.12.24 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1741953643.A.430.html
1F：推 arrenwu : 我觉得问题在一开始原型叙述那边。 03/15 08:49
2F：→ arrenwu : "两分钟时停止，之後箱中球数不再变化" 这个不应该 03/15 08:49
3F：→ arrenwu : 是公理一样的东西，而是需要被证成的叙述 03/15 08:49
不好意思隔了这麽久才回覆 A 大，反问 A 大，两分钟那一刻，
理论上经过了所有自然数回合，结束後不再放球、取球，球数不再变化应该合理吧？
4F：推 arrenwu : 我觉得丙的想法最正常，但"无穷多"跟"数量不再改变" 03/15 08:51
5F：→ arrenwu : 在我看起来是相互矛盾的叙述 03/15 08:51
6F：→ arrenwu : 丁戊的推论是基於"数量不再改变"这个没被证成的叙述 03/15 08:52
可能 A 大是潜无穷主义者，认为无穷增加、变化，永无止尽才是无穷。
敢问 A 大认可存在所有自然数集合吗？如果自然数是无穷无尽的...
7F：→ ginstein : 谢谢分享你的看法！等中篇发出再一起回应比较好。 03/15 23:33
9F：→ ginstein : 谢谢h大，仔细看看，不过真的太多了XD 03/21 21:39
谢谢 h 大答覆。有点好奇您的领域? 也许你看完(中)篇会有其他想法，晚点再回覆您。
不过我有点好奇，将球的编号换成集合的编号，然後一个小结论是非负整数或无穷，
感觉和(中)篇的想法五结论类似。
大致理解 h 大的想法，取出球集是放入球集的子集，都是可数无穷集，
箱中球集是放入球集扣除取出球集(余集)，基数可能非零整数或无穷个数，
但资讯不足以确认是基数大小，不能透过特例说明箱中球集的情况。
应该是数理逻辑学家XD
有想过想要好好回复 h 大，但恐无余力，
中篇机率部分就写的不太满意了，下篇比之前预期的难写，
想的比说的快，说的比写的快... 还要白话文，嗯，写多少是多少吧~~
※ 编辑: ginstein (59.120.152.34 台湾), 03/22/2025 19:22:57
※ 编辑: ginstein (219.69.12.24 台湾), 03/24/2025 22:05:10
16F：→ hwanger : 第二张最後一段的第一行 要改成 b in BOX_n for n l 03/25 17:59
17F：→ hwanger : arge enough 03/25 17:59
18F：→ hwanger : 补一个例子 就假设类似原问题的叙述 只不过现在箱子 03/26 06:41
19F：→ hwanger : 内是一双袜子 甲丢一只袜子进去 乙拿一只走 03/26 06:41
20F：→ hwanger : 那最後箱子剩几只袜子 03/26 06:41
21F：→ hwanger : 人类对无限是很无力的 要嘛你只能乖乖接受用数理逻 03/26 06:45
22F：→ hwanger : 辑严格的规范无限 要嘛否定无限这个概念 但永远不要 03/26 06:45
23F：→ hwanger : 觉得自己理解无限 03/26 06:45
24F：→ hwanger : 人类永远无法真正意义上的处理无限是我以前很喜欢 03/26 06:52
25F：→ hwanger : 对学生说的 03/26 06:52
26F：→ ginstein : 喔喔！对 h 大抱歉，一来晚看到推文，二来下篇卡文 04/07 09:59
27F：→ ginstein : 不满意改写中，不敢说包君认同，但上中两篇本就没 04/07 09:59
28F：→ ginstein : 啥太多新观点，下篇有关数学基础的典范观点，刚好 04/07 09:59
29F：→ ginstein : 也能解释你推文中一些问题。最後，还没仔细看，但 04/07 09:59
30F：→ ginstein : 放球取球球编号规则可看成具体的 choice function, 04/07 09:59
31F：→ ginstein : 反过来也是吗？是的话这个论点和庚就雷同了 04/07 09:59
35F：→ hwanger : 修正一个typo: 在第2点中的 ∃n(...) 这个式子 里 04/09 19:45
36F：→ hwanger : 面的集合包含要改成集合的相等 04/09 19:45
37F：→ ginstein : WLOG, Box_n = {1,...,2n} \ {f(1),...,f(n)}, 04/09 22:01
38F：→ ginstein : 最小球号规则：f(n)=n，最大球号规则：f(n)=2n。 04/09 22:02
39F：→ ginstein : 数字作为分类标签,也可以不用自然数编号,不失一般性 04/09 22:03
40F：→ ginstein : 我对h大的理解是，箱中剩球合理正确结论是非负整数 04/10 00:09
41F：→ ginstein : 到可数无穷，没有不确定性，论述与编号无关。 04/10 00:09
42F：→ ginstein : 我回覆h大的精神是，不失一般性，用h大论述，特例 04/10 00:16
43F：→ ginstein : 取文中编号规则，可看成具体选择函数。 04/10 00:16
44F：→ ginstein : 刚陷在思考中，差点忘了非常感谢h大，写这麽详细很 04/10 00:24
45F：→ ginstein : 花时间，像是隐藏假设甲不会从乙取出的球拿回去放 04/10 00:24
46F：→ ginstein : 感谢(合十) 。自己也得好好尽力，至少把初衷完成。 04/10 00:37
庚的论点是，箱中最终球数和取球编号规则有关。
参考维基百科 Ross–Littlewood paradox 中 Depends on the conditions
我认为 h 大的集合论述和庚的本质上雷同，
翻译成 h 大的语言(应该)是，最终球数和哪种选择函数 f 有关。
是否每个选择函数都是有效编号规则？我没细想。
但 h 大强调的是选择函数 f 的存在性，这细节非本文重点，
(真要诡辩... 旧文恕删。存在从取球编号规则建构的选择函数 f)
重点当庚的论述为 h 大特例，那最终球数就和哪种选择函数 f 有关，
用哪种选择函数 f 或是用哪种取球编号规则，只是名词不同。
虽然 h 大强调论述无关编号，至少需可区别的标记，
|B_i|=2 写成 B_i={b_{2i-1}, b_{2i}} 看起来是更一般，
但本质上没有更一般，因此”不失一般性”，把 b_n 看成 b(n) 某种编号规则
Box_n = {1, 2, ..., 2n} 和 Box_n = {b_1, b_2, ..., b_{2n}} 本质一样，
然後最小编号选择函数 f(n)=n，最大编号选择函数 f(n) = 2n，
就是翻译成 f(n)=b_n，f(n) = b_{2n}，留 K 颗球选择函数也可以写出来。
至於 h 大的集合论述和庚的是否等价？并非本文重点。
※ 编辑: ginstein (219.69.12.24 台湾), 04/13/2025 06:01:55
51F：→ hwanger : 目前似乎只有在原PO愿意尝试理解或反驳下列 04/13 14:53
抱歉 h 大，目前真的没能力。烦死自己的下篇严重拖稿，幸好没答应一些事。
谢谢你的回应与指教，我们侧重点不一样，你的论述也给我一些启发。
不过回顾数学基础学派时，意识到 h 大和我应该是不同学派，侧重自然不同。
52F：→ hwanger : 目前似乎只有在原PO愿意尝试理解或反驳下列 04/13 15:00
53F：→ hwanger : 所叙述的事後，我才有可能接着解释其它细节 04/13 15:00
54F：→ hwanger : 网路问题 抱歉 以下重打 04/13 15:02
55F：→ hwanger : 目前似乎只有在原PO愿意尝试理解或反驳下列 04/13 15:02
56F：→ hwanger : 所叙述的事後，我才有可能接着解释其它细节 04/13 15:06
57F：→ hwanger : 、并讨论原PO系列文中的上中两篇和维基条目 04/13 15:07
58F：→ hwanger : Ross-Littlewood paradox写法的差异。 04/13 15:07
59F：→ hwanger : (不过我其实已不打算再对此系列文章做任何回 04/13 15:08
60F：→ hwanger : 覆了；不出意外地话，这是我针对这系列文章 04/13 15:08
61F：→ hwanger : 的最後一次回文，抱歉) 04/13 15:09
62F：→ hwanger : ================================================ 04/13 15:09
63F：→ hwanger : >>>我从来就没有用{1,2,...,2n}和{b_1, b_2, 04/13 15:10
64F：→ hwanger : ..., b_{2n}}形式上的相异来说明我第一次回 04/13 15:11
65F：→ hwanger : 文中的第一到第三段和庚的论述的差别；我强 04/13 15:11
66F：→ hwanger : 调的是我们不可能只透过定义有限的{1,2,..., 04/13 15:11
67F：→ hwanger : 2n}或{b_1, b_2, ..., b_{2n}}来推得、定义 04/13 15:12
68F：→ hwanger : 或假设∪B_*为{1, 2, ...}或{b_1, b_2,...} 04/13 15:12
69F：→ hwanger : '∪B_*可以是 uncountable的'就注定了不可能 04/13 15:13
70F：→ hwanger : 从我第一次回文的第一到第三段得到和庚本质 04/13 15:13
71F：→ hwanger : 上一样的论述---这件事我在第二次回文中有稍 04/13 15:14
72F：→ hwanger : 微提到、并在最後两次回文中都花了相当的篇 04/13 15:14
73F：→ hwanger : 幅说明，不是现在才临时改口的。不知道为什 04/13 15:14
74F：→ hwanger : 麽原PO会觉得我只是单纯纠结在{1,2,...,2n} 04/13 15:15
75F：→ hwanger : 和{b_1,b_2,...,b_{2n}}哪个符号孰优孰劣。 04/13 15:16
76F：→ hwanger : ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 04/13 15:16
77F：→ hwanger : 注意到f能够表示成某些集合的选择函数是原问 04/13 15:16
78F：→ hwanger : 题本来就有所限制的，这点我在第一次回文中 04/13 15:17
79F：→ hwanger : 就有提到、并在第四次回文中详细描述为什麽 04/13 15:17
80F：→ hwanger : f刚好是个选择函数。但在我第一次的回文中根 04/13 15:18
81F：→ hwanger : 本没有特别去强调f的存在性是重要的，并且在 04/13 15:18
82F：→ hwanger : 那次回文中我甚至不需要知道 f '可以是什麽' 04/13 15:18
83F：→ hwanger : 就可以明确地指出丙丁戊的问题点在哪。 04/13 15:19
84F：→ hwanger : 我不知道原PO这系列文章最终的目的是什麽， 04/13 15:19
呃... 一部分动机是心得记录。监於不知道拖稿还要多久？先透露点内容说明：
"比方说三角形内角和悖论，甲说内角和等於两直角，乙说内角和大於两直角，
甲乙可以都是对的，结论不同是因为几何基础不同。"
对一部分人来说，要把甲基础和乙基础都写下来，说清楚哪里不同，才够严谨。
这系列定位是科普文，能表达到意思又不失真就好，会斟酌的不是严谨性。
不好意思是我能力不够，自以为清楚某些事，可以动笔简单写下来，
边写边痛苦，这样写别人没兴趣看，这样写别人会误会，这样写别人看不懂...
所以 h 大抱歉，我心烦已读乱回，以後有机会弥补就弥补，没机会请多包涵
85F：→ hwanger : 但我第一次回文的重点就是单纯给出上篇所想 04/13 15:20
86F：→ hwanger : 要的解释，即指出丙丁戊论述的缺失，理解我 04/13 15:20
87F：→ hwanger : 第一次回文和庚的论述的不同处，才能清楚知 04/13 15:21
88F：→ hwanger : 道我并不是因为支持庚的结论而在找似是而非 04/13 15:21
89F：→ hwanger : 的理由否定丙丁戊。 04/13 15:22
90F：→ hwanger : ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 04/13 15:23
91F：→ hwanger : 尽管光凭第一次回文中第一到第三段的叙述在 04/13 15:23
92F：→ hwanger : 逻辑上推不到庚的结论，原PO却只因我在假设 04/13 15:23
93F：→ hwanger : 选择公设的前提下可以推到庚的结论，就认为 04/13 15:24
94F：→ hwanger : 我第一次回文的重点是在建立和庚一样的论述 04/13 15:24
95F：→ hwanger : 而就算我已经在两次回文中真的多次强调在只 04/13 15:25
96F：→ hwanger : 有我第一次回文中第一到第三段的描述的情况 04/13 15:25
97F：→ hwanger : 下，我是可以用严格的逻辑否定掉庚的结论， 04/13 15:25
98F：→ hwanger : 但这些在公设集合论中稍微艰深的推导似乎只 04/13 15:26
99F：→ hwanger : 让原PO觉得我只是在计较{1,2,...,2n}和{b_1 04/13 15:26
100F：→ hwanger : b_2,...,b_{2n}}哪个在形式上更一般、而没有 04/13 15:27
101F：→ hwanger : 在讨论真正有意义的事。嗯，那就真的当我抽 04/13 15:27
102F：→ hwanger : 象能力不足、没办法接受用1,2,...来代用b_1 04/13 15:28
103F：→ hwanger : b_2,b_3,... 吧。 04/13 15:28
※ 编辑: ginstein (219.69.12.24 台湾), 04/14/2025 16:41:34