※ 引述《oyasmy (oyasmy)》之铭言： : https://web.evanchen.cc/exams/IMO-2021-notes.pdf : 这个pdf的第4页的问题 : 一般的数学归纳法应该是 : 已知n=1成立 : 假设n=k成立 若能证明n=k+1成立 : 就得证 : 可是这题的证法是 : 已知n=1,n=2成立 : 证明n-1的case成立 : 证明n-2的case成立 : 所以得证 : 我的问题有二点 : 1.为什麽需要已知n=2成立? : (而且n = 2 being easy to verify by hand.....?) : 2.我猜它的逻辑是 因为n-1是n-2的特例 : 所以在n-2成立的前题下 n-1必成立 所以得证 : (但是这样子的话就没有必要特别去证n-1成立) : 请问这题的证明逻辑是什麽呢? 仔细看一下, 他的论证逻辑可以改写成以下型式 (1) 容易验证n=1和n=2成立 (2) 若n=k和n=k+1都成立, 则n=k+2也成立 (3) 根据数学归纳法得证 怎麽证明(2)呢 就是利用中间的lemma 当 n=k+2时 对任意x_1~x_(k+2) 存在 a,b 属於 {1~k+2} 使得t=-(x_a+x_b)/2时 ΣΣ|x_i+x_j+ 2t| 有最小值 此时 右式 = ΣΣ|x_i+x_j+ 2*0| , i,j=1~k+2 >= ΣΣ|x_i-x_a + x_j-x_b| 若 a=b, 不失其一般性设a=b=k+2 右式 >= ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+2 = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)| , i,j = 1~k+1 + Σ|x_i-x_(k+2) + x_(k+2)-x_(k+2)| , i=1~k+2 + Σ|x_(k+2)-x_(k+2) + x_j - x_(k+2)|, j=1~k+1 = ΣΣ|x_i-x_(k+2) + x_j-x_(k+2)|, i,j=1~k+1 + Σ|x_i-x_(k+2)| , i=1~k+1 + Σ|x_j-x_(k+2)| , j=1~k+1 = ΣΣ|x'_i+x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (x'_i=x_i-x_(k+2)) >= ΣΣ|x'_i-x'_j| + 2*Σ|x'_i| , i,j=1~k+1 (因为n=k+1成立) = ΣΣ|x_i- x_j| , i,j = 1~k+2 = 左式 所以n=k+2时也成立 --------------------- 若a不等於b, 不失其一般性设a=k+1, b=k+2 後面有点懒得写总之应该是平移让 x'_(k+1) + x'_(k+2) = 0 右式变成前k项两两相加的绝对值 + |其他+x'_(k+1)|+ |其他+x'_(k+2)| 带入 n=k项的不等式, 再平移还原回左式 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 218.172.133.150 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1729698576.A.326.html ※ 编辑: mantour (223.137.11.15 台湾), 10/24/2024 00:09:58