作者Lanjaja ()
看板Math
标题[代数] 不等式证明
时间Fri Sep 13 12:57:09 2024
各位先进好，
我想请问一道以前没有看过的不等式证明。
题目是这样：对於x_i均非负数，i=1~n
试证：(x_1+x_2+...+x_n)/n ≧ √((x_1x_2+x_2x_3+...+x_nx_1)/n)
当n=3时我可以乘开，但是这样的证明方式有其局限性。
到n≧4的时候我平方後会开始多出许多不是不等式右方的项，接着就处理不下去了。
恳请板上强者帮忙提供一下这个不等式的证明。
感谢回答～
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1F：推 vectorlog : 这是算几不等式的n个变数版本吗？ 09/13 15:57
2F：→ Ricestone : 右边实际上是什麽？ 太多的话明显错误吧 09/13 16:15
3F：→ Ricestone : 至少如果是C(n,2)这种方式的话，右边项数会超过左边 09/13 16:19
4F：→ Ricestone : 那就单纯全部取1就出错了 09/13 16:19
5F：推 WINDHEAD : n=4 可以融合成 (x_1-x_2+x_3-x_4)^2>=0 09/13 16:26
是的，n=4展开是(x_1-x_2+x_3-x_4)^2>=0，
但是我做到这里就没办法继续往n>=5前进了......
因为光是当n奇数时(x_1-x_2+x_3-x_4+x_5)^2就造不出最後一项x_5x_1了
6F：推 Starvilo : 平方相减>=0(或含排序不等式) 09/13 16:33
可以请S大帮忙解释一下如何推广到n>4的状况吗？谢谢！
7F：推 StellaNe : 右边只有n项 n=4是x1x2+x2x3+x3x4+x4x1 09/13 16:42
8F：→ Ricestone : 喔喔，没想到环形 09/13 16:48
9F：→ WINDHEAD : 这题满有趣的 可以用几何作 09/13 18:30
可以请W大讲解一下怎麽用几何做吗？谢谢！
※ 编辑: Lanjaja (192.192.13.101 台湾), 09/13/2024 18:45:05
10F：→ Lanjaja : 是的，右式不是所有交叉项的总和，只是相邻项乘积和 09/13 18:59
11F：→ Lanjaja : 头尾乘积，抱歉没有写明 09/13 18:59
12F：推 walkwall : 提供一个思路 但我还没细推 你就把他想成是在直线 09/13 19:15
13F：→ walkwall : 上的连续长度片段x1, x2, x3... 那任意相邻两个线段 09/13 19:16
14F：→ walkwall : 为直径的半圆上 相接点顶到半圆上的高就是相乘开根 09/13 19:17
15F：→ walkwall : 那这题几何上直观的意思就是 这些高平均的最大值发 09/13 19:18
16F：→ walkwall : 生在每个线段等长的时候 以这个思路就不难看出来数 09/13 19:19
17F：→ walkwall : 学归纳法不好拆 但直觉上是对的 09/13 19:19
18F：推 walkwall : 可能想办法证明任意数列相邻两数 在相等时会有最大 09/13 19:41
19F：→ walkwall : 值 比较是可能的突破口 比如说不管x1,x4值大小 09/13 19:42
20F：→ walkwall : 固定所有其他值与x2+x3的值(左侧固定) 证明x2=x3时 09/13 19:44
21F：→ walkwall : 右侧会有最大值这样 09/13 19:44
22F：推 Starvilo : 题目有错吗？n=5 (1,1,1,2,2)矛盾 ，若後面是逆序 09/13 22:24
23F：→ Starvilo : 和，即为切比雪夫不等式？ 09/13 22:24
24F：推 LPH66 : 上面有说了, 右边是相邻两项积和 (最後一项是头尾积 09/14 08:44
25F：推 StellaNe : 左=(1+1+1+2+2)/5=1.4 右=√((1+1+2+4+2)/5)=√2= 09/14 09:06
26F：→ StellaNe : 1.414... 右>左 09/14 09:06