作者mantour (朱子)
看板Math
标题Re: [中学] 非常难的一题，要挑战吗？(集合与计数)
时间Sun Aug 4 20:12:31 2024
※ 引述《suspect1 (阿肥)》之铭言：
: 很难勿入，连很多补习班老师都解不出来
: ( 1+3x)(1+ 3x^3)(1 + 3x^9)(1 + 3x^27)(1 + 3x^81)(1+ 3x^243) =
: 1 + b1x^a1 + b2 x^a2 + b3 x^a3 + ...........b63 x^a63
: 其中ai,bi(i=1,2.....63)都是N
: 且 a1 < a2 < ........<a63
: 则何者正确
: 1. a20 = 90
ai 可能的值为 1,3,9,27,81,243 任选若干项的和
注意到这个数列前几项的和都小於下一项
所以ai从小到大 为
1
3 , 1+3
9 , 1+9 , 3+9, 1+3+9
27, 1+27, 3+27, 1+3+27, 9+27, 1+9+27, 3+9+27, 1+3+9+27
每一列的数字就是最大的数字依序加上前几列从小到大的组合
第 n 列有 2^(n-1) 项
前 n 列共有 2^n-1 项
所以 a20 为第 5 列第 5项
81, 1+81, 3+81, 1+3+81, 9+81
a20 = 90
: 2. a32 = 243
a32 为 第6列第一项 = 243
: 3. b32 = 3
前面所有括号选1, 最後一个括号选 3x^243
=> b32 = 3
: 4. b1+b2+.......b63 = 4^6 -1
x=1 代入 1+b1+b2 + ... +b63 = 4^6
=> b1+b2+ ... + b63 = 4^6-1
: 5.a1+a2+......a63 = 11648
1,3,9,27,81,243 任选n项的和 的总和
1 被加 2^5 次 (其余5项可选可不选)
3 被加 2^5 次 (3以外其余5项可选可不选)
...
因此 a1+a2+...+a63 = (1+3+9+27+81+243)*32 = 11648
: 答：全
结论:
跟进位无关,
只要每个括号的次方级距满足前几个括号的次方总和
小於下一个括号的次方就好
例如题目改成
(1+3x)(1+ 3x^5)(1 + 3x^20)(1 + 3x^30)(1 + 3x^60)(1+ 3x^120)
= 1 + b1x^a1 + b2 x^a2 + b3 x^a3 + ...........b63 x^a63
a1 <a2 < ... < a^63
试求:
(1) a20 = ? (ans: 80)
(2) a32 = ? (ans: 120)
(3) b32 = ? (ans: 3)
(4) b1+b2+...b63 = ? (ans: 4^6-1)
(5) a1+a2+...+a63 = ? (ans: 11648)
这样就跟进位没半毛钱关系了
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1F：→ musicbox810 : 原PO已经被水桶10年了...... 08/04 20:16
2F：→ musicbox810 : 这题是他在math板的最後一舞 08/04 20:16
3F：→ mantour : 看标题就不想理他但是题目确实有点意思XD 08/04 20:17
※ 编辑: mantour (220.137.16.181 台湾), 08/05/2024 15:18:50
※ 编辑: mantour (220.137.16.181 台湾), 08/05/2024 15:19:22