※ 引述《yuyuyuai (>0<)》之铭言： : https://i.imgur.com/Mzx3qyQ.jpg : 想了一整天想不太出来 : 感觉是用定义就能写出来的题目 : 但不太理解随机变数下标是一个随机变数要怎麽用条件 : 长得很像subsequence的样子，感觉可以用柯西数列来证明？ : 不知道有没有大大能给个提示 : 非常感谢 我也满久没有写这类型习题了 大家讨论看看 :) 这里主要用到的性质是「如果条件A可以得到条件B，则 P(A) <= P(B)」 (a) M_n → ∞ Λ X_n → 0 可以推得 X_{Mn} → 0 所以 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) <= P(X_{Mn} → 0) 而这个题目里面两个 almost sure 性质则保证了 P(M_n → ∞) = 1 且 P(X_n → 0) = 1 ， 故 P(M_n → ∞ Λ X_n → 0) = 1 所以我们可以得到 P(X_{Mn} → 0) = 1，也就是 X_{Mn} → 0 almost surely. (b) 这问题的目标是证明: 选定任何ε>0，我们都有 lim P(|X_{Mn}| > ε) = 0 所以我们就先选一个 ε>0 ....(1) P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) (X_n -> 0 almost sure) ...(2) 从 X_n → 0 这个条件，我们可以选一个正整数 Nε 使得 |X_n| < ε for all n >= Nε ................(3) (2)+(3): |X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0 可推得 |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε 所以 P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) ...... (4) 接着我们引入一个条件 Mn >= Nε 从(4)式可进而得到 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε) + P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) ...(5) 现在我们来看 (5) 里面两个机率事件 |X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn >= Nε 这个事件不可能发生， 所以机率为零； 另一方面 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε Λ Mn < Nε) <= P(Mn < Nε) 所以 (5) 可以整理成 P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) <= P(Mn < Nε) ...(6) 将上面的式子全部组合起来： (2) P(|X_{Mn}| > ε) = P(|X_{Mn}| > ε Λ X_n → 0) (4) <= P(|X_{Mn}| > ε Λ |X_n| < ε for all n >= Nε) (6) <= P(Mn < Nε) ...(7) 对(7) 两边取 n→∞ lim P(|X_{Mn}| > ε) <= lim P(Mn < Nε) = 0 (Mn->∞ in probability) Q.E.D. -- 角卷绵芽成吉思团套组 https://i.imgur.com/EYBPGoS.png 只要入手这个套组，从今天开始你也是成吉思团的一份子！ 官网预购连结：https://bit.ly/45iYvBD 预购时间：到台湾时间 2023年11月06日 下午5点为止 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 123.195.25.21 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1697979504.A.6B9.html ※ 编辑: arrenwu (123.195.25.21 台湾), 10/22/2023 21:02:24 你说得没错 (b) 部分证明有问题 我想想怎麽改 ※ 编辑: arrenwu (123.195.25.21 台湾), 10/23/2023 10:09:00