Lemma 1: 设f 在a点k+1次可微分，则必在a附近k次可微分 设g(x) = (f(x)-f(a))/(x-a) if x=/=a, g(a)=f'(a) 则有 (1) g 在a附近k次可微分，且g^(k)在a点连续 (2) g^(k)(x) =k!{f(a)-[f(x)+f'(x)(a-x)+f"(x)(a-x)^2/2!+...+f^(k)(x)/k!}/(a-x)^(k+1) if x=/=a (3) g^(k)(a)=lim(x->a) g^(k)(x) =f^(k+1)(a) / (k+a) Proof： 显然(2)(3)=>(1) (2)由数学归纳法硬算 (3)的极限求值，把f(x)、f'(x)、f"(x)、...f^(k)(x)全部对x=a做泰勒展开， 展到出现f^(k+1)(a)项为止(即f^(s)(x)在a为k+1-s次可微分，展到(k+1-s)阶) 所得的余项虽然不能积分型微分型都不能用，但反正/(a-x)^(k+1)以後会→0 最後 g^(k)(a)=lim(x-a) g^(k)(x) k>0时利用小性质， 「若函数在a点连续且附近可微分，极限存在，则在a点可微分，且微分等於极限值。」 请相信上述步骤真的可以算XD 有了Lemma 1以後，就可以分析差商(divided difference)了， 注意以下差商记号，都假设「所有元素相异」。 先引用差商均值定理 Lemma 2: 若 F 在区间I上k次可微分，a0,a1,...,ak属於I则存在z属於I使得 F[a0,a1,a2,...,ak] = F^(k)(z)/k! 由此推得 Theorem 1: (1) 设f 在a点k次可微分则 lim(a1,...,ak->a,a,...,a) f[a,a1,...,ak] = f^(k) (a) / k! (2) 设f 在a点附近k次可微分，且f^(k)在a点连续，则 lim(a0,a1,....,ak->a,a,...,a) f[a0,a1,...,ak] = f^(k) (a) / k! proof: (1)观察到 f[a,a1,...,ak]=g[a1,....,ak] 由Lemma 1，套用差商均值定理得 = g^(k-1)(z)/(k-1)! -> g^(k-1)(a)/k! = f^(k) (a) / k! as z-> a (2) 直接套用差商均值定理得 f[a0,...,ak]= f^(k) (z)/k! -> f^(k)(a)/k! as z->a 结论： 差商取极限，对於f比较差的情形(如(1))，必须有一个点固定 对於f比较好的情形(如(2))，则所有的点都可以自由移动 接下来考虑趋近不同点的情形 Theorem 2. 设有a[1], a[2],...,a[s] 相异点 对於i=1,2,...,s, 有a[i][0],a[i][1],...,a[i][k(i)] 共k(i)+1 个点 → a[i] f之条件：对於i=1,...,s 或者(A) f在a[i]点k(i)次可微分，但a[i][0]恒等於a[i] 或者(B) f在a[i]点附近k(i)次可微分，且f^(k(i))在a[i]点连续 则 lim f[全部的a[i][j]] = Simga(i=1至s) (d/dt)^(k(i)) {f(t)/Pi(t)}/(k(i)! | t=a[i] 其中 Pi(t) = Product (i'=/=i) (t-a[i'])^(k(i')+1) Proof: 记pi(t) = Product(i'=/=i) Product(j=0至k(i') (t-a[i'][j]) hi(t)=1/pi(t) 则 f[全部的a[i][j]] = Sigma(i=1至s) (f*hi)[a[i][0],a[i][1],...,a[i][k(i)]] 观察第i项 若f 在a[i]满足(A)则 第i项 = gi^(k(i)-1)(z)/(k(i)-1)!, z在a[i]附近 其中 gi(t)= (f(t)hi(t)-f(a[i])hi(a[i]))/(t-a[i]) = hi(t) {(f(t)-f(a[i]))/(t-a[i])} - {(hi(t)-hi(a[i]))/(t-a[i])} * f(a[i]) ‧hi(t)、(hi(t)-hi(a[i]))/(t-a[i]) 在a[i]都是很好的有理函数 各阶微分均一致收敛至 1/Pi(t)、 (1/Pi(t)-1/Pi(a[i])/(t-a[i])之各阶微分 ‧由Lemma 1 记Gi(t) = (f(t)-f(a[i]))/(t-a[i]) 则 Gi^(k')(z) ->Gi^(k')(a[i]) for k'<=k-1 故整体→ (d/dt)^(k(i)-1) {f(t)/Pi(t) - f(a[i])/Pi(a[i]))/(t-a[i])}/(k(i)-1)! | t=a[i] 再用一次Lemma 1 = (d/dt)^(k(i)) {f(t)/Pi(t)}/k(i)! | t=a[i] 若f 在a[i]满足(B)则 第i项 = (d/dt)^(k(i)) {f(t)/pi(t)}/k(i)! | t=z 这次仅使用在a[i]附近 1/pi(t)之各阶微分一致收敛至1/Pi(t)，即得 → (d/dt)^(k(i)) {f(t)/Pi(t)}/k(i)! | t=a[i] 终於进入插值多项式了 设 p(x) = Product(所有a[i][j]) (x-a[i][j]) q(x,t)= (p(t)-p(x))/(t-x) as polynomials 则f 在所有a[i][j]之插值多项式= (fq)[所有a[i][j]] (注意此为x之多项式) 注意到 q(x,t)之各阶微分一致收敛至Q(x,t)=P(x)-P(t)/(x-t)之各阶微分 P(x)=Product(i=1至s) (x-a[i])^(k(i)+1) Corollary: 插值多项式之极限 F(x) = Simga(i=1至s) (@/@t)^(k(i)) {f(t)Q(x,t)/Pi(t)}/(k(i)! | t=a[i] 其各阶微分 F^(r)(x) = Simga(i=1至s) (@/@t)^(k(i)) (@/@x)^(r) {f(t)Q(x,t)/Pi(t)}/(k(i)! | t=a[i] 从这里终於可以推出插值多项式的极限真的满足预期插值高阶微分的性质 Theorem: F^(r)(a[i])=f^(r)(a[i]) for r<=k(i) Proof: 因 P(t)=(x-a[i])^(k(i)+1)Pi(t)，故 Q(x,t)/Pi(t) = (x-a[i])^(k(i)+1){(Pi(x)-Pi(t))/(x-t)} /Pi(t) + {(x-a[i])^(k(i)+1) - (t-a[i])^(k(i)+1) /(x-t)} 由此可知Q(x,t)/Pi(t) 在x,t=a[i],a[i]之泰勒展开，(x-a[i])^r(t-a[i])^r'系数 1,若r+r'=k(i) 0,若 r+r'=/=k(i)但 r<=k(i) 从这里就可以算得出来XD -- 中 最 连 紧 闭 开 值 大 通 致 集 集 在 最 到 映 返 返 中 小 连 紧 闭 开 间 值 通 致 集 集 。 ， 。 ， ； ， --

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