作者saltlake (SaltLake)
看板Math
标题[线代] 转换一组正交基底为另一组
时间Fri Jun 23 20:06:51 2023
在三维维度下，给定一组正交基底向量 U，要透过某个变换得到另一组
正交基底向量 V，可以把基底向量或者说正交座标系绕着某根轴旋转。
例如下列方阵 R:
[1, 0, 0;
0, cos(A), sin(A);
0, -sin(A), cos(A)];
令 V = R*U
正交条件: I = V'*V = (U'*R')*(R*U) = U'*(R'*R)*U = U'*I*U = U'*U
问题(一): 更高维度的纯旋转方阵怎样决定?
问题(二): 从几何角度看，把原座标系统平移所得的新座标系统不改变正交性，
但是如何证明此点?
问题(三): 无限维度的情况呢? 怎样把一组正交基底函数集合转换成另一组?
也是如有限维度下的纯旋转和平移? 怎麽决定这个变换函数集?
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1F：推 zjes40604 : 问题一跟三是差不多的。 06/25 14:03
2F：→ zjes40604 : 假设这组正交基底只在xy平面上由正x轴向正y轴方向 06/25 14:03
3F：→ zjes40604 : 旋转Θ，则[1,0][0,1]变成[cosΘ,0][0,-sinΘ]，其 06/25 14:03
4F：→ zjes40604 : 余不变即可。高维也是如此，看你要旋转什麽方向再 06/25 14:03
5F：→ zjes40604 : 去调整基向量，剩下的就不变 06/25 14:03
6F：推 zjes40604 : 不好意思上面变换打错了QQ. 06/25 14:12
7F：推 wohtp : 2你要先想清楚什麽不变欸 06/25 15:24
8F：→ wohtp : 平移是 v --> v + b，本身甚至不是线性 06/25 15:25
9F：→ wohtp : 但是对任意向量的差 (v - u)，平移是identity 06/25 15:27