※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言： : 想请问这个性质有没有直接的证法, 我证的有点迂回... : ---------------------------------------------------- : 令A€M_mxn(F), F = R or C, b€range of A : 则 Ax = b <=> A^*A x = A^*b, 其中A^*是A的transpose conjugate : ---------------------------------------------------- : 直证"=>"很容易, 但是另外一个方向我毫无头绪, 因为A^*无法消掉 : 而迂回的证法如下: : 令S_1 := {Ax=b} : S_2 := {A^*A x = A^*b} : 则 原命题 等价於证明 S_1=S_2 : pf: (1) S_1≦S_2 很明显(≦是被包含) : (2) 因为b€R(A), 所以S_1非空, 写成齐次解加上特解x_1, 即S_1 = N(A) + x_1 : 因S_1≦S_2所以S_2非空, 写成齐次解加上特解x_2, 即S_2 = N(A^*A) + x_2 : 然後因为N(A)=N(A^*A), 令为W : 因此S_1 = W + x_1, S_2 = W + x_2 : 再来由S_1≦S_2, 我们会得到 W + x_1 ≦ W + x_2 : 接着很容易得到: (a) x_1-x_2€W : (b) W + x_1 = W + x_2 : 因此S_1=S_2, 证毕 : ------------------------------------------------------ : 也就是说, 如果b不属於R(A), 那S_1是空集合, S_2有可能非空, S_2比较大 : (例如A=((0,1),(0,0), b=(1,1)) : 但是如果b€R(A), 会发现S_1就是S_2, 也就是说, 当S_1非空, S_2就不会比较大 : 不过直接从 A^*Ax = A^*b我真的很难推出Ax=b... : 谢谢帮忙~ 想法 我用 <x,y> 表示 x,y 的内积，而||x||^2 = <x,x> 1. 满足 A^*A x = A^*b 的 x ，也同时会达到 min ||Ay-b|| y in F^n 2. 因为 b 在 A 的 range 里面，所以存在某个 z 使得 Az = b， 这同时也保证了 min ||Ay-b|| = 0 所以 ||Ax-b|| = min ||Ay-b|| = 0，可得 Ax-b 数学证明 为了方便我用 A' 代表 A 的 conjugate transpose 给定条件： A'A x = A'b -> A'(Ax-b) = 0 对於任意 y in F^n，我们有 ||Ay-b||^2 = ||Ay-Ax+Ax-b||^2 = ||Ay-Ax||^2 + ||Ax-b||^2 + <A(y-x), Ax-b> + <Ax-b, A(y-x)> 先看最後一项 <Ax-b, A(y-x)> = <A'(Ax-b), y-x> = < 0, y-x> = 0 同样的理由 <A(y-x), Ax-b> = 0 所以我们得到对於任意 y in F^n ||Ay-b||^2 = ||Ay-Ax||^2 + ||Ax-b||^2 接着因为 b 在 A 的 range 里面，所以存在某个 z in F^n 使得 Az = b， 把 z 套进上面的y，可得到 0 = ||Az-b||^2 = ||Az-Ax||^2 + ||Ax-b||^2 这保证了 ||Ax-b||^2 = 0 -> Ax -b =0 -- 角卷绵芽Line贴图上市罗～ 24种可爱贴图，只要30元！ https://pbs.twimg.com/media/FTwzC2AUYAAF5AY.jpg 购买连结：https://t.co/lNGU5jN7b2 --

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