※ 引述《DreamYeh (天使)》之铭言： : ※ 引述《NuCat (骑山猪撞教官)》之铭言： : : 我只想请教一个简单的问题 : : 例如　7 除以 3 大家都知道会除不尽的　 : : 会变成无限小数　 2.3333333333....................... : : 但是因为我们从小学的是10进位制　习惯以10进位思考 : : 假设今天换成是7进位　或者3进位　　结果会不同、变得可以除尽吗？ : : 同理　圆周率π　 : : 大家也都知道他是一个无理数　连换成分数都无法 : : 假设换了一个进位制　结果会不同吗？ : : 真心寻求解答　 : : 鞭小力点　　谢谢各位先进大贤 : 设N为有理数，依照定义，存在a,b为整数使 N=a/b : 则换成7进位、3进位..无论任意进位法， : a,b必定都能表达为整数。 : Ex.. : 3/7 = 011/111(二进位) = 010/021(三进位) = 003/013(四进位) ..... : 由於换成任意进位法，N仍然存在a,b为整数(只是用不同进位制表示) : 且N=a/b，因此N仍然是有理数。 : 无理数推法就上述证法用反证法即可 : 简单来说换进位制不会导致 有理数变无理数、无理数变有理数 : 但换进位法可能让「原先有限循环小数变无限循环小数」 : 范例： : 0.1（十进位）＝0.00011001100110011....（二进位） : 可用无穷等比级数的和来证明 我觉得这有理数换进位，还是有理数 无理数换进位换进位还是无理数 应该跟cardinality是有关的 eg:10进位p/q 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... 2/1 2/2 2/3 2/4 ... 3/1 3/2 3/3 ... 4/1 4/2 ... 5/1 ... inorder: 1/1(p+q=2) => 2/1 1/2(p+q=3) => 3/1 2/2(X) 1/3(p+q=4) => ... 也就是斜着往上，一层一层往下列举，重复的丢掉 eg: 3进位 1/1(十进位1/1)(p+q=2) => 2/1(十进位2/1) 1/2(十进位1/2) (p+q=3) => 10/1(十进位3/1) 2/2(X,十进位1/1=2/2) 1/10(十进位1/3) (p+q=4) => 11/1(十进位4/1) 10/2(十进位3/2) 2/10(十进位2/3) 1/11(十进位1/4)(p+q=5) => ... 可以发现换进位制，还是可以找到相似的bijection ie f:N->D(N) (rational decimal) g:N->C(N) (C进位有理数) -1 f g => D(N)-> N-> C(N) -1 g○f : D(N) -> C(N) is a bijection 即有理10进位数和有理C进位数可以1个1个绑再一起视为同一个东西，不多不少 每一个都可以对应到(唯一的)另一个 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 61.227.37.86 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1678208799.A.78F.html ※ 编辑: yueayase (61.227.37.86 台湾), 03/08/2023 01:55:16