※ 引述《kirimaru73 (雾丸)》之铭言： : 假设在这个宇宙中有一个恐怖的独裁者 : 有一天他说：I wanna play a game ...... : 这个游戏会进行许多轮，在第X轮中他会随机抓10^(X-1)个人类来强迫参加 : 也就是第一轮1人，第二轮10人，第三轮100人，以此类推 : 这些人类会被集合再一起，并随机挑出一位代表 : 由这位代表投掷一枚十面骰(0-9) : 骰出0则大失败，杀死该轮所有人类并且游戏结束 : 骰出1-9则成功，该轮所有参与者得到100万元精神赔偿金，并继续下一轮 : 你并没有参加这场游戏，有一天你的朋友跑来告诉你他从游戏中生还 : (这是此悖论的重要前提，可能是解题的关键) : 你算了一下：Ｘ的，这是什麽疯子游戏，你竟然能活着回来 : 如果游戏结束时为第X轮，那总共会有111...1(X个1)名参与者 : 其中100...0名会在最後一轮化为华丽的烟火，只有11...1(X-1个1)名幸存 : 你的朋友生还机率约为10%(略小一点) 看起来是估计「生还机率约为10%」有点玄机？ 假设我们把这宇宙中的人类都打上一个正整数的编号， 然後恐怖的独裁者依着编号找人 定义以下的随机变数 X_i = 1 , 编号第i位人类没有死亡 0 , 编号第i位人类死亡 R = 这游戏进行了几轮 有了以上两个而每一次游戏总共参与游戏的人数是 (10^R-1)/9 每一次游戏存活的人数是 (10^(R-1)-1)/9 所以每一次游戏 存活人数/餐与人数 的比例是 Z = (10^(R-1)-1)/(10^R-1) E[Z] 看起来差不多是 10% (实际上差不多是 8.9%) 而用E[Z] 估计 E[X_i] ，悖论就出现了 那为什麽会用 E[Z] 估计 E[X_i]呢？ 我们定义随机变数 M 为每一次游戏总共参与的人数，也就是 M= (10^R-1)/9 M 因为 Z = Σ X_i / M i=1 如果今天 M 不是个随机变数而是个常数 m m m E[ Σ X_i / m] = Σ E[X_i]/m 就是个相当常见估计 i=1 i=1 但现在不一样的是分母那个参与游戏的人数 M 是个随机变数 (而且X_i们也不是i.i.d.) 这种情况下我们是不是就不能用 E[Z] 去估计 E[X_i] 了？ -- 角卷绵芽三周年纪念套组 https://i.imgur.com/2lL7GV3.jpg 预购开放至 2023/01/30 下午五点 别错过罗！ 官方购买连结：https://bit.ly/3jC2OFX --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 98.45.195.96 (美国) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1673224022.A.437.html 我想表达的是：通常不是 i.i.d. 的话，"sample mean" 这个可能就不是很适用 而且这边 sample mean 的分母还不是固定的， 而是一个会受到Stopping Time R 干涉的随机变数， 换句话说用这段 : 如果游戏结束时为第X轮，那总共会有111...1(X个1)名参与者 : 其中100...0名会在最後一轮化为华丽的烟火，只有11...1(X-1个1)名幸存 来估计单一参赛者的存活率可能从理论上就是不适用的 就是因为分母不是定值，所以我才对於一开始 10% 那个估计提出质疑啊 比如我们估计一个六面骰骰出"1"的机率，然後进行实验 「骰 n 次，然後计算出现 1 的次数」 然後n够大的话我们就觉得这是「六面骰骰出1的机率」的良好估计 但支撑这想法的是 大数法则(Law of Large Number) 可同样根据在原文章 : 如果游戏结束时为第X轮，那总共会有111...1(X个1)名参与者 : 其中100...0名会在最後一轮化为华丽的烟火，只有11...1(X-1个1)名幸存 成立吗？ ※ 编辑: arrenwu (98.45.195.96 美国), 01/10/2023 01:29:59