作者yhliu (老怪物)
看板Math
标题Re: [微积] 台大研考古-微积分D
时间Mon Jan 9 07:58:51 2023
※ 引述《Selncelow (lighthouse)》之铭言：
: 各位好，最近在练台大的题目，请问3-2我看不懂他是如何推导出来的，猜测可能和3-1有关，谢谢
: https://i.imgur.com/JmDxESz.jpg
: https://i.imgur.com/oZvk9G3.jpg
(1)
N-1 N-1 N
ln N = Σ ln (k+1)/k < Σ 1/k < Σ 1/k
k=1 k=1 k=1
N-1 N-1 N
ln N = -Σ ln k/(k+1) > Σ 1/(k+1) = Σ 1/k - 1
k=1 k=1 k=1
故
N N
Σ 1/k - 1 < ln N < Σ 1/k
k=1 k=1
由此可得极限式.
(2)
N-1 N-1
ln S_N - ln(S_1) = Σ ln S_(k+1)/S_k < Σ a_(k+1)/S_k
k=1 k=1
N-1 N-1
= Σ a_k/S_k + Σ (a_(k+1)-a_k)/S_k
k=1 k=1
第一部分小於从 k=1 加到 k=N;
第二部分
N-1 N-1
Σ(a_(k+1)-a_k)/S_k = -a_1 S_1 + Σa_k(1/S_(k-1)-1/S_k) + a_N/S_(N-1)
k=1 k=2
当 N→∞ 时, 上式易证收叙. 故
N
ln S_N < Σ a_k/S_k + B, B 为 some positive number.
k=1
又
N-1 N-1 N
ln S_N -ln S_1 = -Σ ln S_k/S_(k+1) > Σ a_(k+1)/S_(k+1) = Σ a_k/S_k - 1
k=1 k=1 k=1
故
N N
Σ a_k/S_k - 1 + ln S_1 < ln S_N < Σ a_k/S_k + B
k=1 k=1
由此可证极限式 (因 ln S_N >= ln N -> infinity).
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 61.224.144.62 (台湾)
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※ 编辑: yhliu (61.224.144.62 台湾), 01/09/2023 08:17:36
※ 编辑: yhliu (61.224.144.62 台湾), 01/09/2023 08:18:46
1F：→ musicbox810 : 当 N→∞ 时, 上式易证收歛？请问要怎麽证明？ 01/16 23:12
2F：→ yhliu : 1 <= a_i <= 2, 1/S_(i-1)-1/S_i = 1/(S_(i-1)S_i) 01/18 09:03
3F：→ yhliu : a_k(1/S_(k-1)-1/S_k) <= 2/(k(k-1)), 比较检敛法 01/18 09:06
4F：→ musicbox810 : 谢谢解答 01/19 00:06