请问一下关於数列空间 l^p, 有推荐的原文书或是参考资料吗? 上网查l^p时几乎都是L^p的讯息(虽然都说l^p跟L^p的性质很类似...) 而实变Zygmund对於l^p也只是几页说明而已, 都着重在L^p 还是泛函分析的书同时会着墨於l^p与L^p? 会想要知道l^p的资讯是因为我想要理清下面这些问题 有些是9成觉得对的, 有些是不确定的: ------------------------------------------------ 令x€l^1 令T_x:l^2→l^2 defined by T_x(h) := x＊h, ＊是摺积 (well-defined by l^1＊l^2 仍是 l^2) 已知: (1) l^2 是 Hilbert space, 内积定义为点乘 (2) T_x是有界线性变换 (3) T_x会有adjoint (T_x)^*(h) = z＊h, where z_n = (x_(-n))^conjugate 问题: (1) Range of T_x(後称R(T_x)) 是closed吗? 若否有什麽x的等价条件? (2) T_x是1-1吗? 若否有什麽x的等价条件? (T_x 1-1 <=> T_x(h) = 0, 之後我也写不出什麽好check的条件...) (3) 假设R(T_x)是closed, 则依据投影定理 任给y€l^2, 都存在唯一的a€R(T_x)使得 distance(R(T_x), y) = |a-y| 接着由垂直与adjoint可以得到 (T_x)^*a = (T_x)^*y 而进一步假设T_x是1-1的话, 可以得到唯一的H€l^2使得T_x(H) = a 因此就得到 H = ((T_x)^*。T_x)^-1。(T_x)^*(y) (即跟矩阵的结果 x = (A^*A)^-1 A^* y 是一样的) 接着想知道((T_x)^*。T_x)^-1。(T_x)^*有没有什麽进一步的性质 因为T_x跟(T_x)^*都可以写成摺积, 所以觉得他应该会有好性质 (4) 对任意正整数L>=1 考虑l^2的中的L维子空间 W_L := {h_n│h_n = 0 for n != 0~L-1} (後称W) 定义 U:W→l^2 by U(h) := T_x(h), 即U是T限制在W上的函数 想知道类似於(4)的最短距离问题: 假设R(U)是closed(这好像不用假设, 因为R(U)有限维必closed) 任给y€l^2, 再一次藉由T_x的adjoint与垂直, 化简出存在唯一的b€R(U)使 <h, (T_x)^*(b-y)> = 0 for any h€W 但是这时不能说(T_x)^*(b-y) = 0 了, 因为内积=0只有any h€W, 并非l^2 接下来问题是, 一样假设U是1-1後, 确实存在唯一w€W 使得 distance(R(U), y) = |T(w)-y| 但是w有简洁的公式吗? -------------------------------------------------------- 以上这些猜测跟问题直觉上应该是某个主题都会依序介绍的基本性质与证明 而跟l^p空间有关的就是实变跟泛函, 我没修过泛函不清楚他有没有讲解这块 我会想知道这些主要是想要让问题-(3)(4)有严格的叙述与漂亮的化简 起初自己在try时, 光是要让T_x有adjoint就猜测x€W_L or l^1 or l^2 .... 然後想起 l^1＊l^2 仍是 l^2 这个性质於是就设定x€l^1 直觉上我还是觉得这些问题跟假设应该是某本书的某一章节会照 Definition, Property, Lemma, Theorem... 这样陈述下来, 不需要我去做猜测... 再请板友帮忙推荐书籍/参考资料 如果答案简洁的话, 方便直接回覆也可以, 谢谢~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1667630023.A.D23.html 嗨h大~谢谢您的回覆, 我再从您建议的书籍出发以及佐证你列出的那些性质 ※ 编辑: znmkhxrw (114.25.75.202 台湾), 11/18/2022 16:46:19