请教一下如题问题 我先叙述定义, 再来叙述已证的东西与问题, 後面再给来源 ------------------------------------------------ 【定义】 V:={x_n:Z→F}, Z是整数, F是实数或是复数, 即V是所有定义在整数上的实/复数列 W:={x€V│x有紧致支撑}, 即W是收集V中所有有紧致支撑的数列 W^c:= V-W, 即W的补集, 收集那些没有紧致支撑的数列 D_d:V→V 为延迟d点的函数 D_d({x_n}) := {x_(n-d)}, d€Z, 大括号代表数列的意思 f:V→V具有时间不变性为 := f。D_d(x) = D_d。f(x), for any x€V and d€Z f:V→V是线性非时变系统(LTI)为 := f 是线性变换并且具有时间不变性 (x＊y)_n := Σ_{k=-∞~∞} x_(n-k)*y_k, for all x,y€V with well-defined limit <Note> 摺积的定义涉及到双极限定义 而且如果要用" x＊y=y＊x "就必须要更加假设绝对收敛 因此为了严格定义, x＊y是well-defined定义为: (1) 双极限是严格的双向定义, 并非科西主值那种一个变数的 (2) 绝对收敛 另外再注意一下, x,y如果其中一个在W里, 那x＊y就一定well-defined 【已知与问题】 令a_1~a_N€F, a_N != 0 令{a_n} := 1 , n=0 a_i, n=1~N 0 , else (即{a_n}是把原本a_1~a_N补上a_0:=1後, 其他令为0) 令T:V→V by T(x):=a＊x, 其中＊是摺积 令f:V→V 为线性变换并满足 T。f(x) = x for all x€V 则可证得: (1) f是线性变换(2022/10/06/16:57移到假设) (2) 限制对应域後(f:V→R(f)), f是可逆且f^-1 = T|_R(f) 其中 T|_R(f) 为 T限制在range of f的限制函数 (3) V = N(T)⊕R(f), 其中dim(N(T)) = N 其中N(T)为T的null space (4) 若更加假设f具有时间不变性(这要是假设的, 因为原条件推不出来) 则存在唯一的h€V使得 f(x) = h＊x for all x€W (因此配合条件可以得到 a＊h = δ, 可以得到跟Z转换一样的结果 不过跟问题没什麽关系) 想证明或是加条件後证明: For all x€W^c with h＊x well-defined We have f(x) = h＊x 也就是说, 想证明那些没有紧致支撑但是h＊x well-defined的x 会让f(x)就是h＊x 也就是说, 原本f(x) = h＊x只成立在x€W 我想要证明说那些没有紧致支撑但是会让摺积良好定义的x也是能写成这种形式 【来源与想法】 我想要用线代严格划分出差方分程(双向递回关系式)的解 方程为: y_n + a_1*y_(n-1) + ... + a_N*y_(n-N) = x_n 即对於任何x€V, 想知道解空间S_x:= {y€V│T(y) = x} 其中T(x):=a＊x, a_n如同【已知与问题】定义那样 而已证得: (1) S_x 非空 for all x€V, 即 T onto (2) S_x = N(T) + y_p, 其中任挑y_p€S_x都能成立 现在好奇说对於任何一个x€V, 既然都能找到特解y_p的话 那我们考虑所有具有" f(x)€S_x "的函数f:V→V 首先在解之前, 藉由选择函数可知这种函数一定存在 再来由" f(x)€S_x "会直接证得如同【已知与问题】的结果, 重复如下: (1) f是线性变换 (2) 限制对应域後(f:V→R(f)), f是可逆且f^-1 = T|_R(f) 其中 T|_R(f) 为 T限制在range of f的限制函数 (3) V = N(T)⊕R(f), 其中dim(N(T)) = N 其中N(T)为T的null space (4) 若更加假设f具有时间不变性(这要是假设的, 因为原条件推不出来) 则存在唯一的h€V使得 f(x) = h＊x for all x€W (因此配合条件可以得到 a＊h = δ, 不过跟问题没什麽关系) 也就是说, 我们原本要找出所有满足" f(x)€S_x "的函数 结果这些函数自动是线性的, 并且更加假设LTI後, 就能知道在x€W时f(x)的长相 并且把数列空间 V 拆分成线性独立的直和 V = N(T)⊕R(f) 至此已经9成解释了之前跟众多板友讨论" 双向递回的解问题 "相关问题: (a) 为什麽特解长成h＊x这样, 可以其他的吗? h唯一吗? (b) 感觉特解(非齐次解)跟齐次解无关, 即怎麽知道特解可以去芜存菁 因为任何一个特解可以故意参杂齐次解, 但是h＊x这种形式感觉就没参杂 以上(a),(b)已经由线代严格定义与解决 剩下1成的部分就是如【已知与问题】的问题所述 今天如果我的x如果没有紧致支撑但是会让h＊x良好定义 那f(x)会等於h＊x吗? 以下附几个想法: (1) 由 #1ZEM9Ut1 所得到的答案表示 今天如果单纯给 f:V→V 是LTI 虽然我们可推得" 存在唯一h€V使得 f(x) = h＊x for any x€W " 但是没办法获得f(x) = h＊x for any x€V 例子如: #1ZEM9Ut1 说存在非空子空间S使得 V=W⊕S 则任给h€W^c 则只要定义f(x):= h＊x_w, 其中 x = x_w+x_s 我们可以检验f是LTI但是不可能" f(x) = h＊x for any x€V " 因为f(x) = 0 for all x€S 但是今天我的问题条件更多, 所以我才觉得应该有机会 (2) 我会想考虑这个问题是因为讯号处理中用正反Z转换解得h後, 就说y = h＊x就是差分方程的解, x可以容许€W^c, 只要摺积收敛 但是到目前线代的推论并没有办法支持这个叙述 因此我才想要知道是否是对的 (3) 我猜需要对V做假设, 比如取比V小的空间造norm, inner prodct, 或是l^p空间 但是这是我不乐见的, 因为当造了一个有拓朴性质的子空间S 那从一开始的线代推论都要重新推导, 并且不一定成立(比如N(T)是N维是建立在V) --------------------------------------------------------------------------- 这个问题解决後我对於这系列问题算是一个阶段的close了 再请各位板友帮忙~谢谢 会视回答的帮助性给予P币感谢~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1664905378.A.932.html 谢谢h大回应, 我照图片段落回应过去: --------------------------------- (1) 你说 x＊y = y＊x 只要一者收敛即可成立, 我刚刚写了一下确实是的, 但限於逐点 如果一者是均匀收敛的话, 也没有办法保证让另一个也是均匀收敛 (我证明过程中的index变换发现会跟n有关) 另外你接着说如果真要考虑某个V的子空间与norm让里面的x＊y都well-defined 比较推荐l^2 norm而不是l^1 norm(绝对收敛) 我猜是因为两个l^2空间的x＊y都well-defined, 但是若是l^1就不会吧!? 我知道x€l^1, y€l^∞才可以让x＊y€l^1, 两个l^1应该就不会了 以上是我猜测你说l^2比较好的原因 不过我通篇是为了想跟工程数学上LTI系统的推导假设与逻辑做对应 他们很常用x€l^∞与h€l^1然後考虑x＊h(BIBO) 所以即使我最後要限缩空间跟加norm, 我暂时不会往l^2方向限制 (2) 你的Remark1: 你说我【已知与问题】-(1)是错的, 并且说是"linear algebra 101"的基本概念 确实最初我推导的过程中有假设f是线性的, 之後发现f就是T的限制函数的反函数 而f自然就是线性的, 因此我就把f是线性拔掉 经由你说是错的我再检视一遍, 在f没有线性的假设下, R(f)不一定是子空间 因此线性函数 T:R(f)→V 即便是可逆的也不足以说明什麽, 确实要增强假设 (3) 你的Remark2: 条件增加了f是线性的, 所以没有Remark2的顾虑 (4) 你的Remark3: 我不懂为什麽当f是LTI(你文中"commute with shift")时并且满足T。f=id 就能推得 T = f = id (然後当然整个矛盾) 这部分的证明可以提供吗? 我很在意这个矛盾, 如果真的能够推导这出这个结果, 代表哪个假设有严重问题 因为我已经把条件压到最少了, 并且目前可以推论出Vulpix大之前说的: 差分方程的解 y = c_1*y_1 +... +c_N*y_N + h＊x 其中任两个h差异只会是y_1~y_N的线性组合 也就是说, 一切的推论都对的上, 只差我这篇所问的问题 因此如果推得 T = f = id, 那事情就大条了... (5) 最後一段你说: (a) 符号令人困困惑: 我就是避免模棱两可的空间才把符号的定义都清楚打出来, 有重复的地方吗? (b) 使用花俏的术语来描述简单的概念: 这些术语都不是我创的阿, 就是讨论这个主题上都会用到的术语 (c) 我可能不会看你的回应: 我会阿XDDD 我就是想得到答案 ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/06/2022 17:16:51 是的, LTI=L+TI 目前文中的f就是假设LTI, 但是h大说这样会得到T=f=id, 我好不希望这件事会发生...等 他给证明我再看看 嗨h大~我一样逐段回: (1) 单就我那句话说有问题我可以理解, 最初我打那句话是因为x＊y跟y＊x给我一种 交换顺序的感觉, 因此我直觉下了"绝对收敛"确保乘加次序不会影响收敛值 而实际上写了之後确实不用 另外你关於子空间跟norm选取的建议我会参考, 谢谢 (2) 第二段、第三段跟你上面补推的我一次整理如下: 《一》令V为一向量空间, T,f:V→V是线性变换 若T。f = id:V→V (即f有左反函数) 则 (a) R(f)是V的子空间 (b) f:V→R(f) 是可逆并且f^-1 = T (c) V=N(T)⊕R(f) 《二》令V为一向量空间, T:V→V是线性变换, f:V→V为一函数 若T。f = id:V→V (即f有左反函数) 且R(f)是V的子空间 则 (a) f是线性变换 (b) f:V→R(f) 是可逆并且f^-1 = T (c) V=N(T)⊕R(f) 文中你强调一个线性变换的左或右反函数不一定线性, 这个我知道 今天我的case不是如此, 《一》的话T,f的线性都是假设, 所以不谈 《二》的话是某个函数f的左反函数已经是T|_R(f), 而且f已经确定可逆 因此f的反函数就是T|_R(f), 而如果T|_R(f)可以确定是线性的, 那自然 可以推得f^-1跟f都是线性的, 因此只要加入R(f)这个条件就可以了 如果《一》或是《二》有问题再请您提出, 谢谢 (3) 关於proposition 1看起来确实会导致T=f=id...这我再思考原条件怎麽修正 (4) 大括号一般都是表达集合, 但是有时候我要强调"x_n"不是for any n€Z 而是整串数列x_n€V时, 我就采用有些书的写法对数列加上大括号代表整串 这边如果让你误会不好意思 (5) compact support只是让我来形容数列在有限项外是0 你不舒服的点是我要在整数空间Z上定义拓朴後我才能使用"compact"这个词? time invariant是我在讯号处理看到的名词所以沿用 而今天这问题是我想从线代切入, 所以自然把这名词用来形容我的问题 另外有个误会是, 这系列的问题一开始跟线代毫无关系 是我想要找出差分方程、Z转换、初始值、LTI...这些的关联性 而最後决定从线代的观点出发最乾净, 最後需要什麽条件再加 因此如果你认为只是线代问题为什麽我要引入这些名词, 我的原因就是如上 我只是把这些问题转换成线代模型而已 (6) 我记得你的id, 回覆我问题的板友我也都有回应, 有印象的好像是我发文问 等号的定义那篇时, 你有回覆我关於范畴论还是逻辑学方面的见解, 然後你好像 有跟其他板友在某篇下面争论, 之後有寄信跟我说如果有问题私下寄信给你就好 我也有回应说如果有问题会再询问 但是那系列的讨论不光是你, 很多板友给我的参考方向多半是我完全没碰触过的 领域, 因此如果我判断跟我的现有知识相差甚远的说明, 我就会先归档而已 等未来有一天遇到再阅读, 毕竟这些严谨性东西只是兴趣而已, 不在学界了 如果你是指这个没有後续回应, 那跟你说声不好意思 我怎麽记得你都有回 很佛心^^ 还是说刚刚寄的那封准备.... 发个牢骚, 我一直觉得这些东西"很基本", 我有问题的诸如: (1) 特解只有h＊x吗? (2) 不收敛的h＊x怎麽办? ... 之类的东西, 我认为一定早就有人去严格的解决了(比如限制空间) 但是我都google不到, 跟人讨论後得到的答案也并不是说哪本书有讲之类的 於是就会有一种矛盾的感觉: 如果很简单, 那应该有完整的答案可以找到(比如有限制空间, 其定理也都叙述详细) 如果不简单, 这些数学发展好几百年了, 怎麽可能需要我&其他人讨论来定出来 总地说来, 在学时期学的数学都不会让我有这些矛盾的想法, 书都找得到 找不到的google一下, math/stackoverflow都会有 但是这些从工程数学衍生的问题, 我问工程的朋友他们都不在意严谨性 比如线性变换如果在某些点不良好定义直接忽略还是当他线性变换 不收敛的点就跳过, 不理他 而要问数学的朋友的话, 我就必须先做完翻译的工作 比如wiki上说的LTI等价於摺积, 我的问题就是并非所有x都能让摺积收敛 数学的朋友看到这个不well-deined後就说wiki这错, 我也知道错... 但是最後就剩我自己在"如何给条件让他变对" 当然光是给条件让某个性质变well-defined很简单, 但是还要去证明这个条件 对於其他的性质也适用... 我就觉得很奇怪, 这些问题应该早就有答案了应该不是我来做吧... 因为不在学界, 所以这些严谨性的东西我要取个平衡点, 并非每个定理我都要亲自证过 我只求有严格的叙述解决我的疑惑而已, 等有时间再自己证 只能说我的感觉是在学问的数学问题跟在工作问的数学问题, 差异很大... ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/07/2022 03:30:23 V=N(T)⊕R(f)应该没错耶 ---------- <thm> 令T:A->B为一线性变换, A,B为向量空间, S为A的子空间 则 A=N(T)⊕S <=> 存在可逆U:S->R(T)使得U(x)=T(x) ---------- 今天T=T, A=B=V, S=R(f), R(T)=V (因为T onto), U=T|_S可 逆 因此V=N(T)⊕S V没改到, 我就是原本打V怕跟这篇的V重复才改成A iso不能直接取代直和的成分吧!? R^2 = x轴 ⊕ y轴, x轴 iso to y轴, 取代後就错了 我意思是如果iso能取代直和的话, R^2 = x轴 ⊕ y轴, 其中 x轴 iso to y轴, 因此R^2 = y轴 ⊕ y轴就矛盾 首先谢谢你在数学部分的想法 再来是非数学的叙述部分, 我只是针对你第一篇的回应做猜测跟解释, 结果在你看来变成 纠结跟在乎, 因此你这篇的非数学部分我就不回应了(关於等号那个我记错了 是这篇 #1Y w-BdDR 关於构造式的讨论), 总觉得已经演变到我误会你意思, 你也误会我意思, 然後在乎不在乎什麽的... ※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 10/07/2022 11:41:20