作者Vulpix (Sebastian)
看板Math
标题Re: [分析] 双向递回数列的推导问题
时间Tue Sep 13 22:59:20 2022
这篇回应关於 pseudo inverse 的想法。
还是用这个举例
: y_n - y_{n-1} = x_n
: y_n = y_{-∞} + (u＊x)_n
: 或
: y_n = y_{∞} + [(u-1)＊x]_n
: 在 y_{-∞} 存在的情况下，u 可以是脉波响应。
1 0 0 0 0
-1 1 0 0 0
0 -1 1 0 0
0 0 -1 1 0
0 0 0 -1 1
以上矩阵是差分算子的矩阵表示，然後我砍掉（truncate）了一些东西。
其伪反矩阵：
1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 1 1 0 0
1 1 1 1 0
1 1 1 1 1
这个矩阵与 u＊ 的作用相似。
: 而在 y_{∞} 存在的情况下则换成可以拿 u-1 当作脉波响应。
-1 1 0 0
0 -1 1 0
0 0 -1 1
0 0 0 -1
以上矩阵也是差分算子的矩阵表示，然後我又砍了一些东西。
其伪反矩阵：
-1 -1 -1 -1
0 -1 -1 -1
0 0 -1 -1
0 0 0 -1
这次矩阵跟 (u-1)＊ 长得比较像了。
: 两个脉波响应只差了 1（此为齐次解），都同样能有作用，
: 即使 u＊x 与 (u-1)＊x 算出来不一样，但只要存在，他们就的确都是特解。
: 是相应於不同边界条件的特解。
: 而此时会受到初始条件影响的东西，是 y_{-∞} 和 y_{∞}。
: 也就是说，不同初始条件与特解（那个卷积）的计算过程无涉，
: 但是会改变齐次项。
砍矩阵的时候下刀的方式不同，其实就是在考虑不同的边界条件。
第一个差分矩阵左上角是 1，代表在扩大矩阵的时候，y_n 最前面的那项要一直能算。
第二个差分矩阵右下角是 -1，代表最後项要一直存在。
这与我们的边界条件概念上是相符的。
其实还有其他下刀的方式，出来的伪反矩阵我还没想到解释，就放生了。
至於一般的线性算子要怎麽算伪反矩阵我没去研究，最近没空。
但是数列到数列、函数到函数的这种，一定要考虑边界行为。
跟提问「iD 是 Hermitian 算子吗？」一样要考虑边界。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 163.13.112.58 (台湾)
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※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 09/13/2022 23:32:14
1F：→ Vulpix : 总之我认为「伪解与卷积是一致的」这个猜想应该没09/14 00:52
2F：→ Vulpix : 问题，只是前置条件要写好。09/14 00:52
3F：→ Vulpix : 如果是在这个情况下，伪解的确是很特别的特解。但09/14 00:55
4F：→ Vulpix : 是「这个情况」其实是指着边界条件在说的，此时特09/14 00:55
5F：→ Vulpix : 解就是唯一解，「特别」也就理直气壮了。09/14 00:55
6F：推 znmkhxrw : 谢谢V大观点, 这样也是一个把线性方程与差分方程拉09/14 01:10
7F：→ znmkhxrw : 在一起的一种方式了~09/14 01:10
8F：推 znmkhxrw : 分享一下我前几天卡住的观点XD 我把线性方程Ax=b的09/14 01:16
9F：→ znmkhxrw : 那一个特别的特解定义成"Ax=b中的x与{Ax=0}垂直的x"09/14 01:16
10F：→ znmkhxrw : , 自然就获得x是唯一解并且x=A^+b, 但是这个观点需09/14 01:16
11F：→ znmkhxrw : 要内积空间, 这个限制在实或是复矩阵自然成立, 但是09/14 01:16
12F：→ znmkhxrw : 在实或是复差分方程我就不知道怎麽定义内积了...两09/14 01:16
13F：→ znmkhxrw : 个解y1_n与y2_n的内积是...XD 放弃, 这个观点可以09/14 01:16
14F：→ znmkhxrw : 给Ax=b那个特别的特解很好的刻划, 可是无法延伸到差09/14 01:16
15F：→ znmkhxrw : 分方程QQ09/14 01:16
16F：→ Vulpix : 一个简单的内积定义就是逐项积的和啊。不能算内积09/14 05:59
17F：→ Vulpix : 的数列就先排除掉，之後再说。09/14 05:59
18F：推 znmkhxrw : 了解~09/14 11:04
※ 编辑: Vulpix (163.13.18.218 台湾), 09/14/2022 13:20:44
19F：→ Vulpix : 回头一看，我选的都是方阵，还可逆XD 09/16 01:21
20F：推 znmkhxrw : 所以解空间变成唯一解XD 09/16 10:36
其他看起来比较合理的下刀方式：
-1 1 0 0 0
0 -1 1 0 0
0 0 -1 1 0
0 0 0 -1 1
伪反矩阵：
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
0.2 -0.6 -0.4 -0.2
0.2 0.4 -0.4 -0.2
0.2 0.4 0.6 -0.2
0.2 0.4 0.6 0.8
这个应该下不同的条件就可以让他看起来收敛到适当的 u+c 上吧。
21F：→ recorriendo : Least-norm solution 09/16 18:35
※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 10/05/2022 02:45:37