作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
标题[其他] 何谓"理解"了工程上的名词或数学
时间Thu May 12 03:07:16 2022
想了很久如何下标题...因为问题范围有点广
不好意思, 先把常常写在结尾的部分放到前面,
因为这些问题叙述起来比较没有规则, 就是这几年的工作遇到的困难跟经验谈
我身边的朋友要马就是纯工程出身, 要马就是纯数继续在学界,
或是学界转业界後就不在乎这些事情了
因此我才会怀疑是否在
工程上在乎跟理解这些事情是不需要的?
(可是又觉得不太可能如此, 如果不理解, 那怎麽知道什麽时候要采用/避免?
该不会又回到了"
先加再说", 效果好再解释?)
文末分享一个让我PO这篇文的最後一根稻草...频谱泄漏
或许板友们也可以分享如果是你遇到这个问题, 怎样叫做
理解了这个问题
或是说知道这个问题的
答案是什麽(我就是查不到formal math definition...)
想听听看各位板友的看法, 谢谢!
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大体来说, 我用以前在学界的"
理解了"的标准来看待我工作上用到的名词与数学
从一年多的深度学习到现在三年的讯号处理, 不论是paper/工程的书/网路资料
我觉得...好累...累到怀疑是不是我错了 不该拿以前那套逻辑思维套用在实务上的讨论
累的点完全不是在难, 而是在
定义不清/不一致, 很多都是
语言叙述或是
举例
导致花一堆时间在
猜东西/定义以及
自我给定义
然後逐个在猜测的定义下做推导, 看结果有没有矛盾
很大的可能是跟例子A一致, 但是又跟例子B抵触, 於是又修正定义, 一直loop
这些年有问过不少人的看法, 工程上的朋友给出的说法大致是:
1.本来就不会写清楚, 之後被质疑才有解释的空间
(这个好像蛮常遇到的, 明明傅立叶转换家族的定义跟假设不一样然後彼此互相帮忙,
数学上对於这个家族间的关系其实都要有
严格的假设才能相同or逼近的)
2.实务上很多是try出有结果後才去补数学式
3.本来就没有严格/一致定义
4.审paper的人不会验证数学式, 叙述逻辑跟结果合理就好
...etc
这些说法每个都让我大开眼界...
【工程paper】
举工程paper的格式来说, 大致上是:
(1)介绍 (2)理论 (3)实作 (4)数据 (5)结论
数学paper只是少掉(3)跟(4)而已
接着以我的逻辑思维来说:((4),(5)不提了)
(1) 介绍: 问题是什麽, 以前的模型有什麽问题, 这篇解决了什麽
(2) 理论: 对这个问题的数学建模是什麽, 推导出什麽结果
(3) 实作: 用什麽方式
达到理论数学式
以我看过的工程paper来说, (1)的内容多半是
语言叙述, 这部分只要在(2)中
给了
明确的数学定义, 那就没问题, 但是有些给有些不给, 所以这里就要猜了
再来猜最凶的就是(3)的部分,
几乎没有证明(2)跟(3)的关系, 仅口述说(3)实作(2)
所以我就在猜到底是:
(a) 确实(3)是在实作(2), 只是证明trivial
(b) 确实(3)是在实作(2), 只是证明很难
(c) 确实(3)是在实作(2), 只是他多假设了一些无法证明的东西
(比如期望值用移动平均实作, 假设这个方式可以逼近理论期望值)
(d) 当初是先有(3)发现效果好, 再去补(2)来发paper
然後前面
(a)~(c)的猜测, 就要花我一堆时间, 涉及:
(i) 把实作部分还原成数学式
(ii) 把还原後的数学式跟理论数学式做比较(99%不相同)
(iii) 自己猜条件&假设, 尽量把(ii)控制在某个误差范围内
最後就不了了之, 因为原作者不在旁边, 所有的一切只能自己猜跟验证
【我认为的讨论逻辑/何谓理解了某个东西】
今天要讨论某个议题, 所有关於这个议题的
辞汇都要有共识的定义,
才不会导致问题发散以及各说各话, 毫无交集
以数学例子来说, 要讨论傅立叶转换的话, 就必须涉及:
(1) 积分假设是什麽? 黎曼或是勒贝格
(2) 函数假设是什麽? 黎曼或是L^p
(3) 是否为等价定义? 若不L^p怎麽办?
详细可参考L大的
https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1641311400.A.DB4.html
也就是说, 以上
每个词汇都有定义, 只差有没有时间自己证一次而已
我长年就是习惯这样的思维(在学界跟教授与学生互动的经验也支持这样是对的)
所以如果这个议题
有定义, 那就先确认彼此定义是什麽
如果
没有定义, 那我们先一起
把它定义出来
以工程例子来说, 要讨论取样定理的话, 就必须涉及:
(1) 讯号假设?
(2) 何谓完美还原? 还原到谁? everywhere or almost everywhere?
(3) 双向无穷级数的定义? 是采用左右对称还是各自跑? 是否等价?
(4) 极限交换? 还是假设这函数很好, 在哪都可以交换?
而把这逻辑套到工程paper来说,
我就会先去抓该paper如何对问题做
数学建模(数学目标式)
然後再看实作是如何
逼近数学目标式
我要求的只有这样 但是很多就是
看不到或是加很多没证明的因素
比如回声消除(AEC)的数学建模是假设
传输路径是LTI系统, 并且是系数是有限长的(FIR)
然後实作(演算法)就是要帮忙算出这些系数
数学来说单纯是做 f(w):= |Aw-b|^2 的梯度下降法而已
但是看了很多在做AEC的paper确实都用同一套理论建模
但是实作上却各自加了很多因素,
声称可以帮助达到理论系数或是
加速,
(block处理, 加入统计量动态改变学习率...但没证明这样能达到什麽效果)
但是要马没给证明, 要马就是证明的内容跟实作不符
这时候我又花了不少时间在验证上...
而且, 常常会发生
语言叙述矛盾的地方
以AEC的论文为例, 常在介绍中提到"
若在双讲情况时没停止学习率更新, 系数会发散掉"
然後我用最纯的梯度下降(没加任何变因)做实验时根本没有发散掉, 只是收敛速度慢而已
然後我就卡住了, 不知道如何解决这个矛盾
这又是我另外一个不舒服的地方...因为工程paper的理论往往使用
随机过程建模
不是单纯的"
令x_n为定义在整数上的实数函数", 所以很容易觉得
理论跟实作差很多
只能
相信他的实作在逼近理论, 也因此遇到像
上述实验上的矛盾也无从检验
(因为任何的实验只是一次随机过程的取样而已)
最後就觉得, 如果这些矛盾没有厘清, 这篇paper到底带给我什麽知识?
【何谓频谱泄漏(Spectral leakage), 为何加特殊窗可以减少频谱泄漏】
我这几天去查相关资料, 9成都是用
sine举例的方式解释, 参考wiki的第一张图
https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_leakage (有蓝红线的那张)
然後我到处都查不到formal definition
可是接着想, 如果没有定义, 那怎麽回答自己或是别人何谓频谱泄漏...
如果有
定义, 那我就可以验证那些举例是否符合定义, 以及加特殊窗是否会减少泄漏
(记得当线代助教时, 大一生在写关於方阵AB=I则BA=I的证明时, 不少人就写:
令A=I, B=I, 则因为AB=I, 所以BA=I...逻辑错到傻住XD
举例不能当作全部)
这边题外话一下, 工程上的词汇很容易遇到
没有正式定义, 但是可以疯狂举例
而在意定义的人, 只能从海量的例子去自我定义出一个说服自己的定义...
这个问题以我所谓"
理解了"的标准, 就要涉及:
(缩写: FT=连续傅立叶转换, FS=傅立叶级数, DTFT=离散时间傅立叶转换,
DFT=离散傅立叶转换)
(1) 讯号假设? 是定义在整数x_n还是在实数x(t)? 是当作周期函数还是非周期函数?
非周期的话是假设有紧致支撑还是没有?
(2) 何谓频谱? 是采用FT/DTFT/FS/DFT? 如果用FT, 如果不是L^1的话要采用分布理论?
(3) 何谓泄漏? 何谓降低泄漏?
(4) 何谓特殊窗函数?(以例子来看是那些头尾递减到0的紧致支撑函数)
当以上都
well defined後, 就要能证明加特殊窗函数後就能降低泄漏
当然啦, 我完全查不到(1)~(3)的定义, 查越多只是
更多的举例, 更遑论证明
因此我就试着自己定义这些东西, 参考wiki那张图, 我马上就卡住了, 涉及:
(a) wiki那张图是对周期函数sine做FT, 这个用L^1的FT是不收敛的, 如果我要定义
就要针对不同函数空间的FT做定义?
(b) 泄漏如果定义在"频谱"无法还原跟FT的结果一样, 那所有函数都会泄漏
(c) 如果不是sine/cosine呢? 任何函数做周期延拓都是周期函数阿
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 59.102.225.191 (台湾)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1652296038.A.2F9.html
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 05/12/2022 03:07:39
1F：推 Vulpix : 那你对於「讯号」的图像又是什麽呢？是严格的周期函05/12 18:19
2F：→ Vulpix : 数，是只在产生後、终止前有support，还是在support05/12 18:21
3F：→ Vulpix : 边缘迅速增减，又或者是在"support"外很小却又无法05/12 18:22
4F：→ Vulpix : 归零(一丝扰动都没有)的函数？05/12 18:22
5F：→ Vulpix : 以一般的应用来说，虽然理论可以推到很外面，但他想05/12 18:24
6F：→ Vulpix : 应用的范围，可能就只有很小的一部分函数？如果要向05/12 18:24
7F：→ Vulpix : 外推展就应该是去延拓吧。 05/12 18:25
嗨V大~你的这些问号也是我的问号
我就是觉得今天任何一份"频谱泄漏"的资料
他就要
先给你那些问号是什麽, 也就是假设
可是我却花很多时间一个一个测试他的叙述到底是基於哪些问号
就像是给一堆"x^n"的微分是"n*x^(n-1)"但是一直没给微分的定义
然後我就要花时间自己去猜出微分的定义...这不合理吧
8F：→ Vulpix : (a) 此时FT不要用积分定义，用pv积分或延拓来做。05/12 18:27
9F：→ Vulpix : 而不管你怎麽定义的，都相容於原本的积分定义。05/12 18:29
10F：→ Vulpix : 定义早就已经不是那个积分了，所以不用管积分收05/12 18:29
11F：→ Vulpix : 不收敛。05/12 18:30
如果wiki讲明"频谱我们采取FT, 而且是采用定义在分布理论上的FT"
或是你讲的用PV, 我都可以接受并且後续再验证
12F：→ Vulpix : (b) 这没什麽疑问，是这样没错。所以可以在频谱之间05/12 18:31
13F：→ Vulpix : 度量其差异，至於要不要用metric或甚至要用哪个05/12 18:32
14F：→ Vulpix : metric也还可以讨论。05/12 18:32
15F：→ Vulpix : (c) 这有什麽问题吗？05/12 18:33
就是因为他用sine举例才"看起来"有泄漏的感觉
那其他周期函数如果有泄漏是怎样呢?
这个问题也就是因为没有
定义泄漏
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V大针对你回的这些我想问一下, 为什麽历史上这些词汇就不能像
数学定义那样写成:(以下有加一些猜的东西)
<Definition> We say a function x:R→R has spectral leakeage
if: (1) x is periodic with period p > 0
(2) F{x}(f) (FT defined by distribution theory) exists
(3) by x_n:= f(nT), n = 0~N-1, T = p/N
X_k:= FFT{x_n}
we have X_k != F{x}(k*N*T)
就是类似写成这样, 那我就可以验证是否加入窗函数就会降低泄漏
但是工程上的词汇我很少看到这种写法, 所以我就会花一堆时间在猜定义
原因就是目前根本没有一致定义吗?
16F：推 Vulpix : 我觉得泄漏本质就是window「不好」的程度。05/12 22:04
17F：→ Vulpix : 那要给一个度量方法的话，我会觉得算window的标准差05/12 22:06
18F：→ Vulpix : 就好。也就是∫(x-μ)^2 w(x)dx/∫w(x)dx，其中μ=05/12 22:08
19F：→ Vulpix : ∫x w(x)dx/∫w(x)dx。但这只是一种度量方法，根据05/12 22:09
20F：→ Vulpix : 情况也或许有其他更合适的作法。回头说一下那个度量05/12 22:10
21F：→ Vulpix : ：这应该理解成w(x)有多好。所以数字越小就代表w(x) 05/12 22:11
22F：→ Vulpix : 会造成越严重的泄漏。05/12 22:12
23F：→ Vulpix : 至於为什麽大家总是只拿sin来说明。这是因为FT就告05/12 22:14
24F：→ Vulpix : 诉你所有你有兴趣的函数都可以用sin和cos这些函数叠05/12 22:15
25F：→ Vulpix : 出来。那要说频率外泄的时候就先拿函数的一个小成份05/12 22:15
26F：→ Vulpix : 出来谈就好。剩下的只要加上来，函数的行为也就可以05/12 22:17
27F：→ Vulpix : 刻划完毕了。05/12 22:17
28F：推 Vulpix : 前面写的度量方法，可能有人会不同意，觉得w也要平 05/12 22:21
29F：→ Vulpix : 方一下才行，这也是一种常见的歧见。05/12 22:22
V大你意思是说, 如果加窗函数y(t)=x(t)*w(t), 如果w(t)是恒为1的常数函数
那y(t)就恒等於x(t), 因此x跟y的FT会一样, 就毫无泄漏
但是如果今天w(t)不是常数函数, 假设是有紧致支撑的函数
那自然x跟y的FT会不一样, 这就是所谓的泄漏
如果我没有误会你的意思的话, 直接你写的标准差当定义, 马上就遇到问题:
x(t)如果是周期函数, FT就是一个泛函, 这样标准差定义也会well-defined?
即便这个问题解决了, 这也就是我所谓"猜"的一种方式
更何况像是wiki的图画出了FT, DTFT, DFT来解释频谱泄漏 不仅仅只用了FT
感觉就是每个人对於频谱泄漏可能有
各自的定义
但是直觉上好像都在表达一个
无法有一致定义的自然现象?
30F：推 PPguest : 帮Z大QQ05/12 22:34
31F：→ PPguest : spectral leakage在wiki上看起来就只是用文字叙述来05/12 22:40
32F：→ PPguest : 定义,多少也会觉得有种不够明确的感觉,但好像这样就05/12 22:43
33F：→ PPguest : 够了,大概知道在表达什麽.看wiki的图,感觉好像不一05/12 22:45
34F：→ PPguest : 定一定要造一个度量方式才能说明,像wiki下面的图用 05/12 22:49
35F：→ PPguest : 图片呈现的方式就很清楚.刚想到也许可以先研究一下05/12 22:51
36F：→ PPguest : 这领域的人一般都用什麽方式来呈现结果或说明好坏,05/12 22:53
37F：→ PPguest : 搞不好真的不需要用到严谨的定义或数学也能达到目标 05/12 22:55
嗨P大~对 我就是觉得不可能这几百年只有我遇到这种数学与工程的衔接问题
所以都是以 "应该是对的 只是我证不出来/证错" 继续花时间找资料
但是几年来做这些事 觉得好像越来越不是这样
好像我在学界在乎跟使用的那套分析事务的逻辑在工程上不适用
但是上网查也没有相关的讨论...
於是才想说不再浪费时间了 问看看各位板友的意见
38F：→ recorriendo : leakage是一个现象 无限长和有限长频谱就会有差05/12 23:06
39F：→ recorriendo : 不管讯号是哪一个class都会有 另外也不能化约成一05/12 23:07
40F：→ recorriendo : 个数字 必须在side lobe宽度 noise floor强度之间做05/12 23:08
41F：→ recorriendo : 取舍 有一好没有两好05/12 23:09
42F：→ recorriendo : leakage可以理解成PSD的smoothing 重点是leakage会05/12 23:12
43F：→ recorriendo : 不会smooth到达不到需要的解析度05/12 23:13
44F：→ PPguest : 工程paper的部分,个人觉得看它如何宣称实作有好结果05/12 23:16
45F：→ PPguest : 要用数学严格证明实作方式真的能达到目标可能在简单05/12 23:19
46F：→ recorriendo : 更正 是 main lobe宽度 VS side lobe强度05/12 23:19
47F：→ PPguest : 的问题上比较能做到;复杂的问题如果无法用某种证明05/12 23:21
48F：→ PPguest : 方式来证明,那可能就退而求其次,用其他方式来说服你 05/12 23:24
49F：→ PPguest : 这个实作方式是好的,例如说某个方法无法证明在任意05/12 23:25
50F：→ PPguest : 函数上都行得通,但在那些经典的(在领域上重要的)函05/12 23:27
51F：→ PPguest : 数上都有好的结果,这样至少会有一定程度的信心 05/12 23:32
了解~举例来说, 今天我在某个模型加入了一层f(x) = x^3, 然後实用效果变好了
paper中要写到这一点时, 如果我能有一套完整的定义跟数学证明去说明, 那我就写
如果没有的话, 我就会写我"
认为"他在做什麽物理现象, 但是没有定义跟证明
但是我遇到的叙述通常是:(举例)
f(x)=x^3强化了讯号奇数频的频率, 因此辨识度变高
接着附上一些说明数学式子
然後我就
非常不舒服
因为你有附数学式, 我就认为你这些式子100%在定义/说明你的
叙述
因此我就从数学式或是叙述开始猜定义:
(1) 既然说奇数频, 所以对方是用FS或是DFT, 就不是用FT或是DTFT了?
(2) 何谓强化? 增加Gain?
(3) 何谓辨识度变高?
诸如此类的猜测, paper没写, 我就从数学式捞
捞不到我就上网找
然後就导致这串葡萄越来越大串, 越来越模糊
52F：→ recorriendo : 上面我讲的还是需要修正... 重新讲好了 05/12 23:42
53F：→ recorriendo : 你window的main lobe宽度和side lobe强度决定了理想05/12 23:43
54F：→ recorriendo : (无限信号)的PSD会怎麽被smoothed成有限信号估计出 05/12 23:45
55F：→ recorriendo : 来的PSD 看应用决定这是否符合你对PSD的需要 05/12 23:48
56F：→ recorriendo : 举例 我需要解析两个很靠近的频率 那麽main lobe必 05/12 23:56
57F：→ recorriendo : 需愈窄愈好 但是若我收的有很多杂讯那side lobe也不05/12 23:57
58F：推 Kevintsaitsa: 我什麽都看不懂 但我大受震撼05/12 23:57
59F：→ recorriendo : 能太强 main lobe太宽或side lobe太高 都会导致靠05/12 23:57
60F：→ recorriendo : 近的两个spectral peaks被smoothed一个 结论: 如何05/12 23:58
61F：→ recorriendo : 选取window必须是你的应用 收到的SNR 以及noise性质05/12 23:59
62F：→ recorriendo : 而定 (像Hamming window刻意压低第一side lobe 但你05/13 00:00
63F：→ recorriendo : 的杂讯根本不在第一side lobe 那就没用 反而其他sid05/13 00:01
64F：→ recorriendo : e lobe被Hamming提高了)05/13 00:02
65F：→ recorriendo : 因为工程往往是要在各种目的与代价间权衡 所以实务05/13 00:15
66F：→ recorriendo : 上当然不像数学的定义-定理证明那麽直接简洁05/13 00:16
嗨r大, 就是依据不同的假设去选用不同的window就是了
当然假设错误就很可能导致效果不好 此时再换假设与window 这些我都可以接受
我在意的点是, 如果你上面这段推文放在paper中, 并且他有附
数学推导
我就认为他有义务先讲清楚这些专有名词所
选用的定义, 诸如:
(1) 讯号离散或是连续? 讯号周期吗?
(2) 采用FT/DTFT/FS/DFT? 不收敛怎麽办? 假设只讨论收敛的讯号?
(3) main lobe, side lobe, PSD, smoothed, SNR...
以上这些的数学定义陈述要给出来我才能学习跟检验他有没有证错
但是大多数没有附, 我就上网找, 而我这几年的经验也知道这些名词
很多时候在不同假设下有不同版本
比如光是SNR就有一堆版本了, 离散/连续/随机变数...PSD也是
而如果你这段推文只是在描述某个
没有一致定义的大概, 我完全接受, 脑中也有图形
如果作者本人都没写数学式了, 我也不想花时间去研究上述(1)~(3)是什麽情况
也就是说, 我认为当作者用
数学式在佐证自己的物理论述时
就有
义务要给出明确定义
不过这个"
认为"也是在学界养成的习惯, 如果在工程上不是这样我也接受了
※ 编辑: znmkhxrw (59.102.225.191 台湾), 05/13/2022 01:34:07
67F：→ recorriendo : 这里严格的假设确实不重要呀 用到的就是 F(xw) =05/13 03:01
68F：→ recorriendo : F(x)＊F(w) 这对几乎全部class都成立05/13 03:04
69F：→ recorriendo : 应该说工程上最大的假设就是实际上会遇到的信号都会05/13 03:05
70F：→ recorriendo : 让此等号成立 数学的好处是万一真的有天发现不成立05/13 03:06
71F：→ recorriendo : 回头找可能违反的条件时可帮助缩限范围 而不是拿来05/13 03:07
72F：→ recorriendo : 绑手绑脚05/13 03:09
73F：→ recorriendo : 另外 有些东西对工程来说是基础科目的东西 paper当05/13 03:10
74F：→ recorriendo : 然不会再花篇幅定义 因为他们认为要严谨的东西去翻05/13 03:12
75F：→ recorriendo : 教科书就有 就像数学paper不会定义L0,黎曼积分一样05/13 03:13
76F：→ recorriendo : 这我应该在你以前的发文里讲过了05/13 03:14
r大你的意思是说, 比如我在查频谱泄漏他写了x_n但是没写条件, 我就
假设不管x_n是随
机过程/实数列/周期/紧致支撑, 都会符合接下来的叙述
而只要写到频谱, 则不管是FT, DTFT, FS, DFT都会对(而DFT後相乘再做反DFT会变成循环
conv, 这个如果下面都没提, 就当作线性或是循环conv都对?)
而像是我遇到周期函数的FT不收敛, 要用泛函来看他, 也就假设作者当他是泛函
如果是这样的话, 不就变成留下模糊的空间随时可以解释了...
举例如果我在某篇文章说绝对值的微分是阶梯函数, 没特别讲0点怎麽处理, 读者就要自
行
假设我可能采用别的微分定义, 或是我只在乎almost everywhere, 或是我加个local的
mollifier
总之经验论来说, 从我的分析跟逻辑方式在被高微奠基後, 遇到什麽问题先问定义, 一半
以上的模糊就是因为定义问题才导致的, 然後这套方法不论跟教授/学生/板友讨论
数学都
没问题, 甚至之前跟圣容教授聊硕论时, 我讲题目後她马上问我定义...但是这套应对换
到工程上的数学就让我处处碰壁...
77F：→ recorriendo : 数学:假设x,w是某某class则可推F(xw)=F(x)＊F(w) 05/13 14:06
78F：→ recorriendo : 工程:假设F(xw)=F(x)＊F(w) 这代表真实看到的PSD上 05/13 14:11
79F：→ recorriendo : 会出现什麽效果 05/13 14:11
80F：→ recorriendo : 当然F,＊的定义在FT, FS, DTFT, DFT不一样 但也没 05/13 14:33
81F：→ recorriendo : 差那麽多 结论也都一样就是频率成分被分散了 况且 05/13 14:33
82F：→ recorriendo : 真实世界里的信号 你假设它无限长 或是假设compac 05/13 14:33
83F：→ recorriendo : tly support但support很长 都可以 数学上有差别但 05/13 14:33
84F：→ recorriendo : 是物理世界里无法区分 所以固定一个定义是不必要的 05/13 14:33
85F：→ recorriendo : 反而可让读者选择自己习惯的定义解读 05/13 14:33
86F：→ recorriendo : 我昨晚说无限长因为那是我习惯的解读方式 总之 这 05/13 15:11
87F：→ recorriendo : 问题探讨就是长信号被剪成短信号 频谱会有什麽後果 05/13 15:11
88F：→ recorriendo : *被windowed成 05/13 15:15
嗨r大, 了解你的意思了, 就是工程上会默认一个大概念比如你说的F(xw)=F(x)＊F(w)
但是这个式子的成立以及性质, 确实会随着假设不同而有异同
不过不重要, 因为实务设计上有这个概念就足够了
反而定义的严格没有操作空间反而失去了弹性(?
※ 编辑: znmkhxrw (1.164.120.161 台湾), 05/13/2022 15:36:41