※ 引述《pennyleo (今朝有酒今朝醉)》之铭言： : 想问 : 大二工数就教我们算半衰期，这大家都知道 : 但我想问，如何由机统的方向，导出半衰期公式 : 是否要从每个粒子的时间序列出发，再利用哪几项大数定理？ : 还有，若核种彼此存在交互作用，要如何处理？ : 例如衰变出的一个粒子去撞其他粒子。 : 可否请高手们，提供一下思路 : 例如引用哪些定理？ : 非常感谢 https://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decay#Universal_law 首先我们提出一个假设： The mathematics of radioactive decay depend on a key assumption that a nucleus of a radionuclide has no "memory" or way of translating its history into its present behavior. A nucleus does not "age" with the passage of time. Thus, the probability of its breaking down does not increase with time but stays constant, no matter how long the nucleus has existed 衰变的粒子没有所谓的「记忆」的迹象。 也就是说，某个会衰变的粒子： (1) 10秒内没衰变的情况下，在10~11秒内衰变 (2) 100秒内没衰变的情况下，在100~101秒内衰变 上面两事件发生的机率是一样的 下面的推导都建立在同意上面那个假设。不同意的话可以左转了 喔对了，还有另外一个假设是粒子们的衰变相互是独立事件 粒子衰变的时间呈现 exponential distribution 这是因为基於上面的假设，令 T 为粒子发生衰变的时间 对於任意非负数 a,b，上面那个「没有老化迹象」用数学语言写出来是 Pr(T > a+b | a) = Pr(T > b) 这样子我们就足以得到：存在某个正数λ, Pr( T > t ) = exp(-λt) for each t > 0 而这个 λ = 1/粒子平均衰变时间 一大坨衰变粒子的分析 假设在时间 t = 0 的时候有 n 个衰变粒子 令 N(s) 为 t=s 时候衰变粒子的数量 ，所以 {N(t)}_{t>0} 是一个随机程序 好啦，那现在让 t=s ，我们怎麽估计 N(s) 有多少？ 现在我们把这群粒子打上 1~n 的编号， 对於任意一个 1<=i<=n, 定义: Xi = 1 ,如果粒子i发生衰变 0 ,如果粒子i还没发生衰变 E[X1] = E[X2] = ... = E[Xn] = Pr(Xn=1) = 1-exp(-λs) n 为了方便，令 Sn = Σ Xi i=1 这样我们就可以马上得到 N(s) = N(0) - Sn = n - Sn (almost surely) 然後呢，对於 ΣXi 我们有 P( lim Sn/n = E[X1] ) = 1 (Strong law of large number) 接着开始继续推论： 1 = P( lim Sn/n = E[X1] ) = P( lim Sn/n = 1-exp(-λs) ) (E[X1] = 1-exp(-λs)) = P( lim (n-N(s))/n = 1-exp(-λs) ) (Sn = n-N(s) alost-surely) = P(1 - lim N(s)/n = 1 - exp(-λs) ) = P(lim N(s)/n = exp(-λs)) 所以上面的 P(lim N(s)/n = exp(-λs)) = 1 隐含的讯息是： N(s)/n 这个随机变数在 n 很大的时候会很接近 exp(-λs) 而那个 n 是 N(0), 也就是 t=0 的粒子数量 因此我们可以给定一大坨衰变粒子数量「半衰期」的模型： 也就是 N(t) = N(0)exp(-λt) = N(0) 2^(-t/T) , T = 1/(λlog2(e)) 其实你如果愿意直接接受 -dN/dt 正比於 N 倒是马上可以得到半衰期的模型 Link: https://en.wikipedia.org/wiki/Radioactive_decay#One-decay_process 最後推荐一个我刚刚写文章时候在听的工作用背景音效 :) Relax to the Sounds of an Open Campfire Link: https://youtu.be/1hgxyjPAgvA 烧的是柴火声，背景中的星空也会随着时间改变喔！ -- 让苦命驱魔师爱上这个世界的方法 https://i.imgur.com/pBiFmqH.jpg https://i.imgur.com/XDz87ba.jpg --

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