※ 引述《TimcApple (肥鹅)》之铭言： : 今年数A的模考题，没有原题，以下是简述 : ============================================== : 已知 a 是整数 : 且 x^13 + x + 90 是 x^2 - x + a 的倍式 : 试求 a : ============================================== 带 x = a 进去 得到 a^2 整除 a^13+a+90 所以 a^2| a+90 可以看出来 a 的绝对值不大 手算一下得到 a = 1, 2, -1, -2 a = 1, -1 的情况 解都是单位根 所以 x^13 + x 不可能有90这麽大 (好啦 带几个值就可以知道不是了) a = -2, x^2 - x -2 = (x-2)(x+1) 但 2 不是 x^13 + x + 90 的根 所以答案就剩下 a = 2 : 本题是单选，因此删一删答案就出来了 : 但我还是有几个问题，有点抽象不好意思 : Q1. 虽然可能的 a 只有一个，其它都不可能 : 但要怎麽确定这个 a 真的是答案？ 可能可以想出很厉害的想法 但是这边长除法最快 : Q2. 有没有一个定理类似以下叙述，或是反例 : 「设整系数多项式 f, g, 会有一个正整数 N = N(f, g) 使得 : 若有 N 个相异 c 满足 g(c) | f(c), 则 g(x) | f(x) in Q[x]」 : 由於有 2 | n(n+1) 的情况，整除只能在有理数多项式内 有，上面有人说了，把 c 弄到很大逼着余数等於 0 不过我想说在比较特别的情况可以用 resultant https://en.wikipedia.org/wiki/Resultant Resultant R(f, g) 是个可以由 f, g 的系数算行列式得出来的整数 (在 f, g 都在 Z[x] 的情况),满足： 1) R(f,g) = 0 iff f 和 g 有共同解 2) 存在多项式 A, B 使得 R(f, g) = Af + Bg 共同解又跟整除不大一样 不过在本题情况因为 x^2-x+2 两根共轭所以没问题 那这样的话, 如果 c 满足 g(c) | f(c) 由 R(f, g) = Af + Bg 有 g(c) | R(f, g) 有够多相异 的 c 就有够多相异 g(c) R(f,g) 只是一个确定的数显然不能被无穷多个 g(c) 整除 好处是 R(f,g) 是 f, g 系数的多项式 这样得出来的 N 应该 bound 会漂亮一点 这题如果是 N = N(deg f, deg g) 比较有意义 毕竟 f, g 都拿到了等於结论都确定了 可惜是错的 上面说过(让 g(x) = x) -- 於千万人中遇见你所遇见的人，於千万年之中， 时间的无涯的荒野里，没有早一步，也没有晚一步， 刚好赶上了，也没有别的话可说，唯有轻轻的问一声 「噢，你也在这里吗？」 张爱玲‧爱 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 108.201.187.155 (美国) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1638638097.A.E97.html ※ 编辑: HmmHmm (108.201.187.155 美国), 12/05/2021 06:35:30