※ 引述《tiwsjia (佳佳)》之铭言： : 已知 Fourier 转换 F 将 : 1. 微分算子转换为 multiplicative 算子； : 2. 将卷积算子转换成逐点相乘的算子。 : 请问 1 是否导致 2？ : 亦即我考虑一个线性算子 L 满足 1，尽可能不假设其他条件下，是否会满足 2？ : 佳佳 每次写佳佳出的作业都只能写到一半…… 感觉上是对的。 我的想法是把所有的物件都形式化，应该就能看出 1 总是蕴涵 2。 首先，D = differential operator X = multiplying by x, which is diagonal in the "x-basis"。 1: LD = ΛL for some diagonal operator Λ 所以 1 这个条件可以直接看成是在对 D 做对角化，L 是 "diagonalizer"。 逐点相乘也可以形式化成这两种样子：f(X)g 或 g(X)f。 当然也可以这两者的任意分点。 考虑到目前的问题，或许更适合用 φ(K)γ 这种写法。 其中 φ = Lf、γ = Lg，而 k 是像空间的 label，K 则是「乘以 k」的算子。 但是我目前卡在 convolution 上，找不太到完整的形式化写法。 我的希望是找到 basis free 的形式。 但目前最好的结果只到： f＊g = ∫dy g(y)exp(-yD) f = ∫dy f(y)exp(-yD) g 如果上式可以不通过 y 表达的话，应该是可以比较容易看出来「1 => 2」。 （当然上式最大的问题是他其实要求 f 和 g 都 analytic，而且收敛半径还要∞。 不过至少先处理这个够理想的情况，再来解决一般化吧。） 如果不这麽做的话，至少 1 的形式化已经说明了这是 D 的对角化问题， 而 D 的 eigenfunction 就是各个指数函数。 L 可能不一定要是 Fourier transform，但应该还是 ∫exp(zx)f(x)dx 这种类型， 也就是 chy 提到的 exponential kernel。 Fourier transform 的 z 取在虚轴上，应该还有其他线可以用，可以走弯的吗？ Laplace transform 的 z 是取负实数，不过 z=0 的边界问题很讨厌:p 最常见的不外乎上面这两个，而他们对 convolution 都有类似的结论， 所以我还是觉得 2 应该是对的。 但要把分析写完这点我觉得麻烦，所以才想用形式化逃进代数运算。 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 1.160.13.224 (台湾) ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1635084602.A.8FC.html 然後我好像找到写法了。 f＊g = ∫dy g(y)exp(-yD) f = ∫dy f(y)exp(-yD) g = (Fg)(-iD) f = (Ff)(-iD) g 这样一来 L(f＊g) = (Fg)(-iΛ) Lf = (Ff)(-iΛ) Lg 如果 Fg(-iΛ) = Lg(K) 就结束了，所以问题在 Λ 与 K 的关系上。 如果 Λ = iK，就有 L = F。 但这没有那麽容易，Λ = iK^3 也没有什麽不对。 毕竟 Λ 和 iK 都是 D 的对角化，却不见得要是同一个。 或许一个更简单的例子是 Λ = -iK，这代表 L 是 inverse Fourier transform， 当然可以宣称只差一点点，那其他情况其实也都只差一点点。 每一个一点点不同都会做出一个不同的 L。 具体来说，Lf(k) = Ff(-iλ(k))。 这是在考虑 1 和 2 同时成立的情况做出的结果，至少形式上如此， 所以这种情况不会违背 2。 而事情如果发展成要调整 eigenvector 的长度和相位， 那 Lf(k) = ∫dx h(k)exp(-ikx)f(x)，也就是 Lf = h*Ff。 如果 h 是常数的话，其实对我们来说也是很常见的。 毕竟每次写下明确的 Fourier transform 都要确认一遍所有的参数。 前一个情况包含了 exp(±ikx) 或 exp(±2πikx) 这些常用的 convention。 而现在的情况则会讨论到整个转换是否会有一个系数 1/2π、1/√(2π) 等， 当然一旦考虑到 discrete measure on lattice 就又有不同的系数了。 而更广义的情况则是允许系数随 k 而变，所以是 h(k)。 在这个情况下不须更动卷积的定义， 只是卷积与逐点积的关系变成 h*L(f＊g) = Lf*Lg。 然後之前我好像误解 c 大的意思了，那应该是上面的情况。 我弄成这个：∫w(x)dx exp(-ikx)f(x)。 不过这个可以看成是一个 absolute continuous measure w.r.t. dx。 所以卷积 f＊g 要定义成 ∫w(y)dy f(x-y)g(y)，然後 L(f＊g) = Lf*Lg。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 10/26/2021 16:03:29 啊，看懂了。 Λ 确实是给定的 l.o.，K 也是由 dual sapce 指定。 但这两者之间可以有非线性的函数关系，例如 Λ = K^3 + K。 小写的 λ 就只是在描述这个函数而已。 把 i 提出来是因为至少在 Schwarz space 上面，Λ 跟 K 都在 k-basis 下对角化。 然後把卷积写成 basis free 确实只是我的坚持而已XD 对，不过算子理论其实把这段讲得还满完整的。 把下面的推文写个简短一点的说明： 如果把函数空间「先」限制到多项式乘以高斯函数所展开的空间上， 高斯函数的中心与宽度都不另加限制而且不考虑无穷多个这种函数的和， 那我们将暂时不用担心函数发散至无穷大或泰勒展开不收敛等情形。 应该除了 completeness 以外，其他属性都很不错， 而且现在也没有要处理 function sequence 的极限，所以完备性暂时不重要。 （除了泰勒展开，但是泰勒展开是幂级数，微分积分都有逐项计算的定理。） 在这情况下，是可以得到只有这些可能的发展方向。 至於要推到目前常用的空间上的时候，就有各种眉角要注意， 这就是我前面说不想完全从分析角度着手的理由>"< 光是要把 D 对角化就会有很多问题， 虽说在常见的情形下，D 的 eigenvalue 都在虚轴上。 但这不代表 exp 就不能看成 eigenvalue=1 的 eigenfunction， 问题在於 exp 有没有进入我们的函数空间。 ※ 编辑: Vulpix (163.13.112.58 台湾), 10/28/2021 17:01:13