作者willydp (willeliu)
看板Math
标题Re: [分析] 一个高微与图形的问题
时间Sun May 16 19:19:40 2021
※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之铭言：
: 我想要证明(或找到反例)以下叙述：
: Let D = {(x,y)│x^2+y^2<=1} , S = {(x,y)│x^2+y^2=1}
: and A,B be disjoint compact subsets of D with A∩S = {(0,1)}, B∩S = {(0,-1)}
: Show that every point P in left arc is path-connected in D
: to every point Q in right arc without passing through A∪B.
: (that is, there exists continuous f：[0,1]→ D\(A∪B) with f(0)=P, f(1)=Q )
: <note>
: "left arc" means {(cosx,sinx)│ 0.5pi<x<1.5pi}
: "right arc" means {(cosx,sinx)│-0.5pi<x<0.5pi}
: ----------------------------------------------------------------------------
以上为2016年板友问的一个问题，该题已获解。
昨天在MO上看到一个相关的题目，但是显然更困难，目前还没有解答：
https://mathoverflow.net/questions/392837/
问题如下:
考虑[0,1]^2的一个子集合S (没有任何拓朴条件的子集合), 满足以下条件:
对於任何[0,1]^2连通子集T, 假设T对x轴的projection为surjective, 那麽S与T相交
问：是否存在S的connected component, 其对y轴的projection是否必定为surjective?
这个问题与原先的问题的关系是，假设S是open或者closed的话，
几乎可以用相同的方法(三角化、离散化)证明。
但难处是S没有很好的拓朴条件，
S与他的补集甚至不一定是locally connected，甚至两者都可以是[0,1]^2中的稠密子集
想造反例似乎也没那麽简单。
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已经有人找到反例了。
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 93.218.74.183 (德国)
※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Math/M.1621163982.A.D2C.html
※ 编辑: willydp (93.218.74.183 德国), 05/16/2021 19:23:06
1F：推 RicciCurvatu: 如果对S 对y不是Sur 那找出一点a 不在proj image, T 05/16 20:45
2F：→ RicciCurvatu: ={y=a} 就是反例了 05/16 20:45
问题是S是否有connected component对y轴为surjective，而非S是否对y轴surjective
※ 编辑: willydp (93.218.74.183 德国), 05/16/2021 21:02:48
3F：推 RicciCurvatu: 鹅.... y=a 不就分成上下两个open set了？ 05/16 21:05
我猜你想用反证法证明问题叙述，而非举反例
但是你一开始就假设S对y轴不surjective，这个假设太强
若要以反证法证明该叙述为真，只能假设S没有connected component对y轴surjective
※ 编辑: willydp (93.218.74.183 德国), 05/16/2021 21:17:26
4F：推 RicciCurvatu: 喔 我懂你意思了 05/16 21:18
※ 编辑: willydp (93.218.74.183 德国), 05/16/2021 21:21:45
※ 编辑: willydp (93.218.83.182 德国), 05/24/2021 16:20:02